Первый способ. Пусть  abc = 100а + 10b + c  – искомое число. Тогда   abc² = 100000a² + 2000ab + 100b² + 200ac² + 20bc² + c².

  Последняя цифра этого числа зависит только от с². Так как с² оканчивается на 1, то  c = 1 или 9.  Предпоследняя цифра зависит от выражения

20bc + c² = 20b + 1  или  180b + 81.  Перебором находим, что окончанию 01 могут удовлетворять только три пары значений  (b, c):  (5, 1),  (0, 1)  или  (4, 9).  Таким образом, квадрат искомого числа имеет вид:  10000а² + 10200а + 2601,  10000а² + 200а + 1  или  10000а² + 9800а + 1201.

  Перебором убеждаемся, что в первом случае ни одно значение а не удовлетворяет условию, во втором случае  а = 5,  а в третьем –  а = 7.   Второй способ. Пусть n – искомое число. Так как n² оканчивается на 1001, то  n² – 1 = (n – 1)(n + 1)  оканчивается на 1000, то есть оно кратно 1000. Поскольку ровно одно из чисел  n – 1  или  n + 1  может делиться на 5, значит, это же число должно быть кратно 125. Оба этих числа – чётные, значит, то из них, которое делится на 125, делится и на 250.

  Так как искомое число – трёхзначное, то остается проверить, на что оканчиваются произведения в семи возможных случаях: 248·250; 250·252, 498·500, 500·502, 748·750, 750·752, 998·1000. На 1000 оканчиваются только два из них:  1)  500·502 = 251000,  тогда  n = 501;   2)  748·750 = 561000,  тогда  n = 749.

501, 749.