Олимпиадная задача на модуль числа и принцип крайнего для 7–9 классов (Галочкин А. И.)

 Первый способ. Предположим, сначала, что одно из чисел равно нулю. Пусть, например,a= 0 (остальные случаи аналогичны). Тогда получим неравенства: |b|$\ge$|c| и |c|$\ge$|b|, откуда |b| = |c|, т. е.b=cилиb= -c. В первом случаеb=a+c, во второмa=b+c. Все доказано. Пусть теперь ни одно из чисел a, b и c не равно нулю. Без ограничения общности можно считать, что число a — максимальное по модулю среди чисел a, b и c (т. е. | a|$\ge$| b|, | a|$\ge$| c|). Также можно считать, что a > 0 (в противном случае произведем замену: a = - a₁, b = - b₁, c = - c₁). Тогда | a| = a, | a - b| = a - b, | a - c| = a - c.

При этих предположениях из неравенства | b - c|$\ge$| a| следует, что числа b и c не могут иметь одинаковых знаков (подумайте, почему).

Возможны два случая.

1^o. b > 0, c < 0. Тогда | b| = b, | c| = - c и | b - c| = b - c, так что мы получаем неравенства a - b$\ge$ - c, b - c$\ge$a, a - c$\ge$b. Из первого неравенства следует, что b$\le$a + c, из второго — что b$\ge$a + c, значит, b = a + c.

2^o. b < 0, c > 0. Тогда, аналогично предыдущему случаю, получим неравенства a - b$\ge$c, c - b$\ge$a, a - c$\ge$ - b. Следовательно, в этом случае одновременно выполняются неравенства c$\ge$a + b, c$\le$a + b, т. е. c = a + b. Таким образом, в обоих случаях утверждение доказано.

Второй способ. Возведем неравенство | a - b|$\ge$| c| в квадрат и перенесем все члены в левую часть, получим (a - b)² - c²$\ge$ 0. Разложив левую часть на множители по формуле разности квадратов, получим:

(a - b - c)(a - b + c)$\ge$ 0, или, что то же самое,

Аналогично получаем, что произведения(b-c-a)(c-a-b) и(c-a-b)(a-b-c) также неположительны. Перемножая эти произведения находим, что Мы видим, что произведение неотрицательных чисел не превосходит 0, значит, одно из этих чисел равно 0, откуда следует требуемое утверждение.

Ответ задачи отсутствует