Олимпиадная задача: равновесие гирек и шариков, Теория алгоритмов, 7-9 класс
Задача
По кругу расставлены 10 железных гирек. Между каждыми соседними гирьками находится бронзовый шарик. Масса каждого шарика равна разности масс соседних с ним гирек. Докажите, что шарики можно разложить на две чаши весов так, чтобы весы уравновесились.
Решение
Обозначим массы гирек черезmi, а массы шариков — через xi. Имеем
(m1 - m2) + (m2 - m3) + ... + (m9 - m10) + (m10 - m1) = 0.
Действительно, каждоеmiвходит в эту сумму два раза: один раз со знаком
"+", а второй раз — со знаком "-". Поэтому всеmiсократятся.
Заметим, что каждая из величин в скобках
(mi - mi + 1) по модулю равна
массе i-го шарика. Значит, это равенство можно переписать так:
±x1±x2±...±x9±x10 = 0,
где перед некоторымиxiстоит знак "+", а перед остальными —
"-". Положим все шарикиxi, перед которыми стоят знаки "+" на
левую чашу весов, а остальные — на правую. Ясно, что весы будут в
равновесии.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет