Олимпиадные задачи из источника «9 класс»

Вокруг треугольника <i>ABC</i> описана окружность, к ней через точки <i>A</i> и <i>B</i> проведены касательные, которые пересекаются в точке <i>M</i>. Точка <i>N</i> лежит на стороне <i>BC</i>, причём прямая <i>MN</i> параллельна стороне <i>AC</i>. Докажите, что  <i>AN = NC</i>.

Докажите, что в любом выпуклом многоугольнике имеется не более 35 углов, меньших170<i>^o </i>.

Точки<i>A</i>и<i>B</i>, лежащие на окружности разбивают её на две дуги. Найдите геометрическое место середин всевозможных хорд, концы которых лежат на разных дугах<i>AB</i>.

Али-Баба и разбойник делят клад, состоящий из 100 золотых монет, разложенных в 10 кучек по 10 монет. Али-Баба выбирает 4 кучки, ставит около каждой из них по кружке, откладывает в каждую кружку по несколько монет (не менее одной, но не всю кучку). Разбойник должен как-то переставить кружки, изменив их первоначальное расположение, после чего монеты высыпаются из кружек в те кучки, около которых оказались кружки. Далее Али-Баба снова выбирает 4 кучки из 10, ставит около них кружки, и т. д. В любой момент Али-Баба может уйти, унеся с собой любые три кучки по выбору. Остальные монеты достаются разбойнику. Какое наибольшее число монет сможет унести Али-Баба, если разбойник тоже старается получить побольше монет?

Целые числа от 1 до <i>n</i> записаны в строчку. Под ними записаны те же числа в другом порядке. Может ли случиться так, что сумма каждого числа и записанного под ним есть точный квадрат  а) при  <i>n</i> = 9,   б) при  <i>n</i> = 11,   в) при  <i>n</i> = 1996.

Докажите, что если для чисел<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>выполняются неравенства|<i>a</i>-<i>b</i>|$\ge$|<i>c</i>|,|<i>b</i>-<i>c</i>|$\ge$|<i>a</i>|,|<i>c</i>-<i>a</i>|$\ge$|<i>b</i>|, то одно из этих чисел равно сумме двух других.