Олимпиадные задачи из источника «1971 год» - сложность 2 с решениями
Существует ли степень двойки, из которой перестановкой цифр можно получить другую степень двойки?
Имеется сетка, состоящая из квадратов размером 1×1. Каждый её узел покрашен в один из четырёх данных цветов так, что вершины любого квадрата 1×1 покрашены в разные цвета. Доказать, что найдётся прямая, принадлежащая сетке, такая, что узлы, лежащие на ней, покрашены в два цвета.
Существует ли число, квадрат которого начинается с цифр 123456789 и кончается цифрами 987654321?
Про последовательность<i>x</i><sub>1</sub>,<i>x</i><sub>2</sub>, ...,<i>x</i><sub>n</sub>, ... известно, что для любого<i>n</i>> 1 выполнено равенство3<i>x</i><sub>n</sub>-<i>x</i><sub>n - 1</sub>=<i>n</i>. Кроме того, известно, что|<i>x</i><sub>1</sub>| < 1971. Вычислить<i>x</i><sub>1971</sub>с точностью до 0, 000001.
Дана замкнутая пространственная ломаная с вершинами<i>A</i><sub>1</sub>,<i>A</i><sub>2</sub>, ...,<i>A</i><sub>n</sub>, причём каждое звено пересекает фиксированную сферу в двух точках, а все вершины ломаной лежат вне сферы. Эти точки делят ломаную на 3<i>n</i>отрезков. Известно, что отрезки, прилегающие к вершине<i>A</i><sub>1</sub>, равны между собой. То же самое верно и для вершин<i>A</i><sub>2</sub>,<i>A</i><sub>3</sub>, ...,<i>A</i><sub>n - 1</sub>. Доказать, что отрезки, прилегающие к вершине<i>A</i><sub>n</sub>, также равны между собой.
Доказать, что среди чисел [2<sup>k</sup>·<img align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78778/problem_78778_img_2.gif">] бесконечно много составных.