Ответ:k= 1 или 0.Лемма.Пусть точкаOлежит в треугольнике$\triangle$ABC, причём точкиA,B,C,Oудовлетворяют условию задачи. Тогда точкаOявляется центром описанной окружности треугольника$\triangle$ABC.Доказательство леммы.Рассмотрим треугольник$\triangle$ABC, по условию задачи он является равнобедренным. Предположим, чтоAB=BC, тогда заметим, чтоBO<ABиBO<BC. По условию задачи треугольники$\triangle$ABOи$\triangle$BCOравнобедренные, а значит,OB=OAиOB=OC. Получили, чтоOA=OB=OC, а значит,Oявляется центром окружности, описанной вокруг треугольника$\triangle$ABC. Докажем, что k$\le$1, индукцией по n.

Если n = 3, то все k точек лежат внутри треугольника и по лемме все совпадают с центром описанной окружности этого треугольника. Получаем, что k$\le$1.

Если n$\ge$4, то в данном n-угольнике есть прямой или тупой угол $\angle$A_{i - 1}A_iA_{i + 1}. По доказанной лемме, внутри треугольника A_{i - 1}A_iA_{i + 1} не может лежать ни одной из k точек. Следовательно, отрезав от нашего многоугольника треугольник A_{i - 1}A_iA_{i + 1}, получим (n - 1)-угольник, внутри которого лежит k точек. По предположению индукции, k$\le$1.

Итак, k$\le$1. Пример для k = 0 очевиден. Для k = 1 достаточно взять равнобедренный треугольник с центром его описанной окружности.

Ответ задачи отсутствует