Олимпиадные задачи из источника «10 класс, 1 тур»

У числа 2¹⁹⁷⁰ зачеркнули его первую цифру и прибавили её к оставшемуся числу. С результатом проделали ту же операцию и т.д., до тех пор пока не получили десятизначное число. Доказать, что в этом числе есть две одинаковые цифры.

Масса каждой из 19 гирь не больше 70 г и равна целому числу граммов. Доказать, что из этих гирь нельзя составить более 1230 различных по массе наборов.

В угол вписаны две окружности; одна из них касается сторон угла в точках <i>K</i>₁ и <i>K</i>₂, а другая — в точках <i>L</i>₁ и <i>L</i>₂. Докажите, что прямая <!-- MATH $K_{1}L_{2}$ --> <i>K</i>₁<i>L</i>₂ высекает на этих двух окружностях равные хорды.