Олимпиадные задачи из источника «1970 год» - сложность 3 с решениями
Известно, что в кадр фотоаппарата, расположенного в точке<i>O</i>, не могут попасть предметы<i>A</i>и<i>B</i>такие, что угол<i>AOB</i>больше179<sup><tt>o</tt></sup>. На плоскости поставлено 1000 таких фотоаппаратов. Одновременно каждым фотоаппаратом делают по одному снимку. Доказать, что найдётся снимок, на котором сфотографировано не больше 998 фотоаппаратов.
Доказать, что если натуральное число <i>k</i> делится на 10101010101, то в его десятичной записи по крайней мере шесть цифр отличны от нуля.
Квадратный лист бумаги разрезали по прямой на две части. Одну из полученных частей снова разрезали на две части, и так много раз. Какое наименьшее число разрезов необходимо, чтобы среди полученных частей могло оказаться ровно 100 двадцатиугольников?
Во всех клетках таблицы 100×100 стоят плюсы. Разрешается одновременно менять знаки во всех клетках одной строки или же во всех клетках одного столбца. Можно ли, пользуясь только этими операциями, получить ровно 1970 минусов?
В маленьком зоопарке из клетки убежала обезьяна. Её ловят два сторожа. И сторожа, и обезьяна бегают только по дорожкам. Всего в зоопарке шесть прямолинейных дорожек: три длинные образуют правильный треугольник, три короткие соединяют середины его сторон. В каждый момент времени обезьяна и сторожа видят друг друга. Смогут ли сторожа поймать обезьяну, если обезьяна бегает <b>в 3 раза быстрее</b> сторожей? (Вначале оба сторожа находятся в одной вершине треугольника, а обезьяна в другой.)
В парке шесть узких аллей одинаковой длины, четыре из которых идут по сторонам квадрата и две по его средним линиям. По этим аллеям мальчик Коля убегает от папы и мамы. Смогут ли папа и мама поймать Колю, если он бегает втрое быстрее их (все трое всё время видят друг друга)?
Дано 999-значное число. Известно, что если взять из него любые 50 последовательных цифр и вычеркнуть все остальные, то полученное число будет делиться на 2<sup>50</sup>. (Оно может начинаться с нулей или просто быть нулём.) Доказать, что исходное число делится на 2<sup>999</sup>.
В угол вписаны две окружности; одна из них касается сторон угла в точках <i>K</i><sub>1</sub> и <i>K</i><sub>2</sub>, а другая — в точках <i>L</i><sub>1</sub> и <i>L</i><sub>2</sub>. Докажите, что прямая <!-- MATH $K_{1}L_{2}$ --> <i>K</i><sub>1</sub><i>L</i><sub>2</sub> высекает на этих двух окружностях равные хорды.