Задача
В парке шесть узких аллей одинаковой длины, четыре из которых идут по сторонам квадрата и две по его средним линиям. По этим аллеям мальчик Коля убегает от папы и мамы. Смогут ли папа и мама поймать Колю, если он бегает втрое быстрее их (все трое всё время видят друг друга)?
Решение
Пусть это не так. Будем говорить, что папа контролирует точку A (B), если его расстояние до A (B) не больше ⅓ расстояния – по дорожкам парка, без захода на AB – Коли до A (B). При этом он может не пропустить Колю через соответствующую точку. В описываемый момент папа контролирует только A.
Далее мама стоит в B, а папа двигается к ней, сохраняя контроль над A. Будем считать, что  AB = 1. Пусть в какой-то момент папа впервые будет находиться от A на расстоянии, равном ⅓ расстояния Коли от A. Так как сумма расстояний от Коли до точек A и B всегда не меньше 3, в этот момент папа контролирует как A, так и B. Ясно, что папа сможет сохранять этот контроль и в дальнейшем (то есть Коля не сможет пройти через эти точки). Если же такого не случится, то папа получит контроль над обеими точками в момент, когда дойдёт до B.
Как только папа "захватил" контроль над A и B, мама перемещается в A и начинает круговой обход по контуру квадрата. Если в момент, когда мама доходит до какого-то перекрёстка, Коля находится на дорожке, соединяющей этот перекрёсток с B, то мама идёт по этой дорожке и ловит Колю. Если же этого не случится, то Коля будет пойман не позже, чем мама вернётся в A.
Ответ
Смогут.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь