Олимпиадные задачи из источника «1958 год» - сложность 2 с решениями
Стороны параллелограмма равны<i>a</i>и<i>b</i>. Найти отношение объёмов тел, полученных при вращении параллелограмма вокруг стороны<i>a</i>и вокруг стороны<i>b</i>.
Обозначим через<i>a</i>наименьшее число кругов радиуса 1, которыми можно полностью покрыть заданный многоугольник<i>M</i>, через<i>b</i>— наибольшее число непересекающихся кругов радиуса 1 с центрами внутри многоугольника<i>M</i>. Какое из чисел больше,<i>a</i>или<i>b</i>?
Решить в натуральных числах уравнение <i>x</i><sup>2<i>y</i>–1</sup> + (<i>x</i> + 1)<sup>2<i>y</i>–1</sup> = (<i>x</i> + 2)<sup>2<i>y</i>–1</sup>.
Внутри угла <i>AOB</i> взята точка <i>C</i>, опущены перпендикуляры <i>CD</i> на сторону <i>OA</i> и <i>CE</i> на сторону <i>OB</i>. Затем опущены перпендикуляры <i>EM</i> на сторону <i>OA</i> и <i>DN</i> на сторону <i>OB</i>. Доказать, что <i>OC</i> ⊥ <i>MN</i>.
Для любых чисел <i>a</i><sub>1</sub> и <i>a</i><sub>2</sub>, удовлетворяющих условиям <i>a</i><sub>1</sub> ≥ 0, <i>a</i><sub>2</sub> ≥ 0, <i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub> = 1, можно найти такие числа <i>b</i><sub>1</sub> и <i>b</i><sub>2</sub>, что <i>b</i><sub>1</sub> ≥ 0, <i>b</i><sub>2</sub> ≥ 0, <i>b</i><sub>1</sub> + <i>b</i><sub>2</sub> = 1,
(<sup>5</sup>/<sub>4</sub> – <i>a</i><sub>1</sub>)<i>b</i><sub>1</sub>...
Из бумаги вырезан многоугольник. Две точки его границы соединяются отрезком, по которому многоугольник складывается. Доказать, что периметр многоугольника, получающегося после складывания, меньше периметра исходного многоугольника.
Сторона клетки клетчатой бумаги равна 1. По линиям сетки построен прямоугольник со сторонами <i>m</i> и <i>n</i>. Можно ли в прямоугольнике провести по линиям сетки замкнутую ломаную, которая ровно один раз проходила бы через каждый узел сетки, расположенный внутри или на границе прямоугольника? Если можно, то какова её длина?
Доказать, что если целое <i>n</i> > 2, то (<i>n</i>!)² > <i>n<sup>n</sup></i>.
Каждая грань куба заклеивается двумя равными прямоугольными треугольниками с общей гипотенузой, один из которых белый, другой — чёрный. Можно ли эти треугольники расположить так, чтобы при каждой вершине куба сумма белых углов была равна сумме чёрных углов?
Имеются два набора из чисел 1 и –1, в каждом по 1958 чисел. Доказать, что за некоторое число шагов можно превратить первый набор во второй, если на каждом шагу разрешается одновременно изменить знак у любых 11 чисел первого набора. (Два набора считаются одинаковыми, если у них на одинаковых местах стоят одинаковые числа.)
Доказать, что на плоскости нельзя расположить больше четырёх выпуклых многоугольников так, чтобы каждые два из них имели общую сторону.
На стол кладут правильный 100-угольник, в вершинах которого написаны числа 1, 2, ..., 100. Затем эти числа переписывают в порядке удаления от переднего края стола. Если две вершины находятся на равном расстоянии от края, сначала выписывается левое число, затем правое. Выписаны всевозможные наборы чисел, соответствующие разным положениям 100-угольника. Вычислить сумму чисел, стоящих в этих наборах на 13-х местах слева.
Решить в целых положительных числах уравнение
<div align="center"><img src="/storage/problem-media/78143/problem_78143_img_2.gif"></div>
Доказать, что если |<i>ax</i>² – <i>bx + c</i>| < 1 при любом <i>x</i> из отрезка [–1, 1], то и |(<i>a + b</i>)<i>x</i>² + <i>c</i>| < 1 на этом отрезке.
Решить в натуральных числах уравнение <div align="center"><img src="/storage/problem-media/78138/problem_78138_img_2.gif"></div>
На круглой поляне радиуса<i>R</i>растут три круглые сосны одинакового диаметра. Центры их стволов находятся на расстоянии${\frac{R}{2}}$от центра поляны в вершинах равностороннего треугольника. Два человека, выйдя одновременно из диаметрально противоположных точек поляны, обходят поляну по краю с одинаковой скоростью и в одном направлении и всё время не видят друг друга. Увидят ли друг друга три человека, если они так же будут обходить поляну, выйдя из точек, находящихся в вершинах вписанного в поляну правильного треугольника?
На плоскости даны точки<i>A</i>и<i>B</i>. Построить такой квадрат, чтобы точки<i>A</i>и<i>B</i>лежали на его границе и сумма расстояний от точки<i>A</i>до вершин квадрата была наименьшей.
Сколько существует четырёхзначных номеров (от 0001 до 9999), у которых сумма двух первых цифр равна сумме двух последних цифр?
В круге проведены два диаметра<i>AB</i>и<i>CD</i>. Доказать, что если<i>M</i>— произвольная точка окружности, а<i>P</i>и<i>Q</i>— её проекции на диаметры<i>AB</i>и<i>CD</i>, то длина отрезка<i>PQ</i>не зависит от выбора точки<i>M</i>.
Имеется система уравнений *<i>x + *y + *z</i>= 0, *<i>x + *y + *z</i>= 0, *<i>x + *y + *z</i>= 0.Два человека поочерёдно вписывают вместо звёздочек числа.
Доказать, что начинающий всегда может добиться того, чтобы система имела ненулевое решение.