Олимпиадные задачи из источника «1955 год» для 2-8 класса
Дано уравнение <i>x<sup>n</sup> – a</i><sub>1</sub><i>x</i><sup><i>n</i>–1</sup> – <i>a</i><sub>2</sub><i>x</i><sup><i>n</i>–2</sup> – ... – <i>a</i><sub><i>n</i>–1</sub><i>x – a<sub>n</sub></i> = 0, где <i>a</i><sub>1</sub> ≥ 0, <i>a</i><sub>2</sub> ≥ 0, <i>a<sub>n</sub></i> ≥ 0.
Доказать, что это уравнение не может иметь двух положительных корней.
Дан$\Delta$<i>ABC</i>. Центры вневписанных окружностей<i>O</i><sub>1</sub>,<i>O</i><sub>2</sub>и<i>O</i><sub>3</sub>соединены прямыми. Доказать, что$\Delta$<i>O</i><sub>1</sub><i>O</i><sub>2</sub><i>O</i><sub>3</sub>— остроугольный.
Трёхчлен <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> при всех целых <i>x</i> является точной четвёртой степенью. Доказать, что тогда <i>a = b</i> = 0.
Решить в целых числах уравнение <i>x</i>³ – 2<i>y</i>³ – 4<i>z</i>³ = 0.
<i>p</i> простых чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>p</sub></i> образуют возрастающую арифметическую прогрессию и <i>a</i><sub>1</sub> > <i>p</i>.
Доказать, что если <i>p</i> – простое число, то разность прогрессии делится на <i>p</i>.
Найти геометрическое место середин отрезков с концами на двух различных непересекающихся окружностях, лежащих одна вне другой.
2<sup><i>n</i></sup> = 10<i>a + b</i>. Доказать, что если <i>n</i> > 3, то <i>ab</i> делится на 6. (<i>n, a</i> и <i>b</i> – целые числа, <i>b</i> < 10.)
Найти все прямоугольники, которые можно разрезать на 13 равных квадратов.
Дан равносторонний$\Delta$<i>ABC</i>. На сторонах<i>AB</i>и<i>BC</i>взяты точки<i>D</i>и<i>E</i>так, что<i>AE</i>=<i>CD</i>. Найти геометрическое место точек пересечения отрезков<i>AE</i>и<i>CD</i>.
Дан прямоугольный треугольник <i>ABC</i>. Из вершины <i>B</i> прямого угла проведена медиана <i>BD</i>. Пусть <i>K</i> – точка касания стороны <i>AD</i> треугольника <i>ABD</i> с вписанной окружностью этого треугольника. Найти острые углы треугольника <i>ABC</i>, если <i>K</i> делит <i>AD</i> пополам.
Числа 1, 2, ..., 49 расположены в квадратную таблицу <div align="center"><img src="/storage/problem-media/78024/problem_78024_img_2.gif"></div>Произвольное число из таблицы выписывается, после чего из таблицы вычёркивается строка и столбец, содержащие это число. То же самое проделывается с оставшейся таблицей и т.д., всего 7 раз. Найти сумму выписанных чисел.
Существует ли такое натуральное <i>n</i>, что <i>n</i>² + <i>n</i> + 1 делится на 1955?