Олимпиадные задачи из источника «1946 год» - сложность 3 с решениями
В городе 57 автобусных маршрутов. Известно, что:
1) с каждой остановки на любую другую остановку можно попасть без пересадки;
2) для каждой пары маршрутов найдётся, и притом только одна, остановка, на которой можно пересесть с одного из этих маршрутов на другой;
3) на каждом маршруте не менее трёх остановок.
Сколько остановок имеет каждый из 57 маршрутов?
На сторонах<i>PQ</i>,<i>QR</i>,<i>RP</i>треугольника<i>PQR</i>отложены отрезки<i>AB</i>,<i>CD</i>,<i>EF</i>. Внутри треугольника задана точка<i>S</i><sub>0</sub>. Найти геометрическое место точек<i>S</i>, лежащих внутри треугольника<i>PQR</i>, для которых сумма площадей треугольников<i>SAB</i>,<i>SCD</i>,<i>SEF</i>равна сумме площадей треугольников<i>S</i><sub>0</sub><i>AB</i>,<i>S</i><sub>0</sub><i>CD</i>,<i>S</i><sub>0</sub><i>EF</i>. Рассмотреть особый случай, когда<div align="CENTER"> $\displaystyle...
Докажите, что выражение <i>x</i><sup>5</sup> + 3<i>x</i><sup>4</sup><i>y</i> – 5<i>x</i>³<i>y</i><sup>2</sup> – 15<i>x</i>²<i>y</i>³ + 4<i>xy</i><sup>4</sup> + 12<i>y</i><sup>5</sup> не равно 33 ни при каких целых значениях <i>x</i> и <i>y</i>.
Доказать, что если$\alpha$и$\beta$— острые углы и$\alpha$<$\beta$, то<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{{\rm tg}\alpha}{\alpha}}$ < $\displaystyle {\frac{{\rm tg}\beta}{\beta}}$. </div>
Через точку<i>A</i>, лежащую внутри угла, проведена прямая, отсекающая от этого угла наименьший по площади треугольник. Доказать, что отрезок этой прямой, заключённый между сторонами угла, делится в точке<i>A</i>пополам.