Задачи и олимпиады по математике

Задача

На сторонахPQ,QR,RPтреугольникаPQRотложены отрезкиAB,CD,EF. Внутри треугольника задана точкаS₀. Найти геометрическое место точекS, лежащих внутри треугольникаPQR, для которых сумма площадей треугольниковSAB,SCD,SEFравна сумме площадей треугольниковS₀AB,S₀CD,S₀EF. Рассмотреть особый случай, когда

$\displaystyle {\frac{AB}{PQ}}$ = $\displaystyle {\frac{CD}{QR}}$ = $\displaystyle {\frac{EF}{RP}}$.

Решение

Будем считать, что${\frac{AB}{PQ}}$$\ge$${\frac{CD}{QR}}$$\ge$${\frac{EF}{RP}}$. Отложим на сторонахQRиPRотрезкиQD'=CD^.${\frac{PQ}{AB}}$иPE'=FE^.${\frac{PQ}{AB}}$. Тогда $\begin{align*} S_{\Delta SAB}+S_{\Delta SCD}+S_{\Delta SEF}&= \frac{AB}{PQ}\le... ...)=\\ &=\frac{AB}{PQ}\left(S_{PQD'E'}\pm S_{\Delta SD'E'}\right). \end{align*}$ В последнем выражении знак плюс берётся, если точкаSлежит вне четырёхугольникаPQD'E', а знак минус — если внутри. Из полученной формулы следует, что для точекSискомого геометрического места площадь треугольникаSD'E'должна быть постоянной. Поэтому искомое ГМТ — отрезок прямой, параллельнойD'E'и проходящей через точкуS₀. В особом случае искомое ГМТ -- весь треугольникPQR.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления