Задача
Доказать, что если$\alpha$и$\beta$— острые углы и$\alpha$<$\beta$, то
$\displaystyle {\frac{{\rm tg}\alpha}{\alpha}}$ < $\displaystyle {\frac{{\rm tg}\beta}{\beta}}$.
Решение
Возьмём на окружности радиуса 1 с центромOточкиK,AиBтак, что$\angle$AOK=$\alpha$и$\angle$BOK=$\beta$(рис.???). Опустим из точкиAперпендикулярAHна прямуюOK. ПустьC— точка пересечения этого перпендикуляра и прямойOB. Сравнение площадей сектораOABи треугольникаOACпоказывает, что($\beta$-$\alpha$) <OH . (tg$\beta$-tg$\alpha$). Сравнение площадей сектораOAKи треугольникаOAHпоказывает, что$\alpha$>OH . tg$\alpha$. Из двух полученных неравенств следует, что
$\displaystyle {\frac{\beta -\alpha}{\alpha}}$ < $\displaystyle {\frac{{\rm tg}\beta -{\rm tg}\alpha}{{\rm tg}\alpha}}$, т.е. $\displaystyle {\frac{\beta}{\alpha}}$ < $\displaystyle {\frac{{\rm tg}\beta}{{\rm tg}\alpha}}$.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет