Олимпиадные задачи из источника «Книги, журналы» для 3-9 класса - сложность 4-5 с решениями

В Думе 1600 депутатов, которые образовали 16000 комитетов по 80 человек в каждом.

Докажите, что найдутся два комитета, имеющие не менее четырёх общих членов.

Дан выпуклый многоугольник, никакие две стороны которого не параллельны. Для каждой из его сторон рассмотрим угол, под которым она видна из вершины, наиболее удалённой от прямой, содержащей эту сторону. Докажите, что сумма всех таких углов равна 180°.

Существует ли такое конечное множество <i>M</i> ненулевых действительных чисел, что для любого натурального <i>n</i> найдется многочлен степени не меньше <i>n</i> с коэффициентами из множества <i>M</i>, все корни которого действительны и также принадлежат <i>M</i>?

На плоскости дано конечное число полос, сумма ширин которых равна 100, и круг радиуса 1.

Докажите, что каждую из полос можно параллельно перенести так, чтобы все они вместе покрыли круг.

Рассматривается произвольный многоугольник (не обязательно выпуклый).

  а) Всегда ли найдётся хорда многоугольника, которая делит его на две равновеликие части?

  б) Докажите, что любой многоугольник можно разделить некоторой хордой на части, площадь каждой из которых не меньше чем &frac13; площади многоугольника. (Хордой многоугольника называется отрезок, концы которого принадлежат контуру многоугольника, а сам он целиком принадлежит многоугольнику, включая контур.)

Дана функция   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98421/problem_98421_img_2.gif"> ,   где трёхчлены  <i>x</i>² + <i>ax + b</i>  и  <i>x</i>² + <i>cx + d</i>  не имеют общих корней. Докажите, что следующие два утверждения равносильны:

  1) найдётся числовой интервал, свободный от значений функции;

  2)  <i>f</i>(<i>x</i>) представима в виде:  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>f</i>₁(<i>f</i>₂(...<i>f</i>_<i>n</i>–1(<i>f_n</i>(<i>x</i>))...)),  где каждая из функций  <i>f_i...

Каждая сторона правильного треугольника разбита на <i>n</i> равных отрезков, и через все точки деления проведены прямые, параллельные сторонам. Данный треугольник разбился на <i>n</i>² маленьких треугольников-клеток. Треугольники, расположенные между двумя соседними параллельными прямыми, образуют полоску.

  а) Какое наибольшее число клеток можно отметить, чтобы никакие две отмеченные клетки не принадлежали одной полоске ни по одному из трёх направлений, если  <i>n</i> = 10?

  б) Тот же вопрос для  <i>n</i> = 9.

Контуры выпуклых многоугольников <i>F</i> и <i>G</i> не имеют общих точек, причём <i>G</i> расположен внутри <i>F</i>. Хорду многоугольника <i>F</i> – отрезок, соединяющий две точки контура <i>F</i>, назовём опорной для <i>G</i>, если она пересекается с <i>G</i> только по точкам контура: содержит либо только вершину, либо сторону <i>G</i>.

  а) Докажите, что найдётся опорная хорда, середина которой принадлежит контуру <i>G</i>.

  б) Докажите, что найдутся две такие хорды.

  а) Четыре порта 1, 2, 3, 4 расположены (в этом порядке) на окружности круглого острова. Их связывает плоская сеть дорог, на которых могут быть перекрёстки, то есть точки, где пересекаются, сходятся или разветвляются дороги. На всех участках дорог введено одностороннее движение так, что, выехав от любого порта или перекрёстка, нельзя вернуться в него снова. Пусть  <i>f_ij</i>  означает число различных путей, идущих из порта <i>i</i> в порт <i>j</i>. Докажите неравенство   <i>f</i>₁₄<i>f</i>₂₃ ≥ <i>f</i>₁₃<i>f</i>₂₄.

  б) Докажите, что если портов шесть: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (по кругу в этом поря...

Докажите, что не существует никакой (даже разрывной) функции  <i>y = f</i>(<i>x</i>),  для которой  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = <i>x</i>² – 1996  при всех <i>x</i>.

В таблице из <i>n</i> столбцов и 2^<i>n</i> строк, в которых выписаны все возможные различные наборы из <i>n</i> чисел 1 и –1, некоторые числа заменены нулями. Докажите, что можно выбрать некоторое непустое подмножество строк так, что:

  а) сумма всех чисел в выбранных строках равна 0;

  б) сумма всех выбранных строк есть нулевая строка.

(Строки складываются покоординатно как векторы.)

В некотором государстве человек может быть зачислен в полицию только в том случае, если он выше ростом чем 80% (или больше) его соседей. Чтобы доказать свое право на зачисление в полицию, человек сам называет число <i>R</i> (радиус), после чего его "соседями" считаются все, кто живёт на расстоянии меньше <i>R</i> от него (число соседей, разумеется, должно быть не нулевое). В этом же государстве человек освобождается от службы в армии только в том случае, если он ниже ростом, чем 80% (или больше) его соседей. Определение "соседей" аналогично; человек сам называет число <i>r</i> (радиус) и т. д., причём <i>R</i> и <i>r</i> не обязательно совпадают. Может ли случиться, что не менее 90% населения имеют право на зач...

  Для каждого натурального <i>n</i> обозначим через <i>P</i>(<i>n</i>) число разбиений <i>n</i> в сумму натуральных слагаемых (разбиения, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми; например,  <i>P</i>(4) = 5,  потому что  4 = 4 = 1 + 3 = 2 + 2 = 1 + 1 + 2 = 1 + 1 + 1 + 1  – пять способов).

  а) Количество различных чисел в данном разбиении назовем его <i>разбросом</i> (например, разбиение  4 = 1 + 1 + 2  имеет разброс 2, потому что в этом разбиении два различных числа). Докажите, что сумма <i>Q</i>(<i>n</i>) разбросов всех разбиений числа <i>n</i> равна   1 + <i>P</i>(1) + <i>P</i>(2) + ... + <i>P</i>(<i>n</i>–1)....

По одной стороне бесконечного коридора расположено бесконечное количество комнат, занумерованных числами от минус бесконечности до плюс бесконечности. В комнатах живут 9 пианистов (в одной комнате могут жить несколько пианистов), кроме того, в каждой комнате находится по роялю. Каждый день какие-то два пианиста, живущие в соседних комнатах (<i>k</i>-й и (<i>k</i>+1)-й), приходят к выводу, что они мешают друг другу, и переселяются соответственно в (<i>k</i>–1)-ю и (<i>k</i>+2)-ю комнаты. Докажите, что через конечное число дней эти переселения прекратятся. (Пианисты, живущие в одной комнате, друг другу не мешают.)

а) Доказать, что для любых положительных чисел  <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_k</i>  (<i>k</i> > 3)  выполняется неравенство: <div align="center"><img src="/storage/problem-media/97781/problem_97781_img_2.gif"></div>б) Доказать, что это неравенство ни для какого  <i>k</i> > 3  нельзя усилить, то есть доказать, что для каждого фиксированного <i>k</i> нельзя заменить двойку в правой части на большее число так, чтобы полученное неравенство было справедливо для любого набора из <i>k</i> положительных чисел.

<i>N</i> друзей одновременно узнали <i>N</i> новостей, причём каждый узнал одну новость. Они стали звонить друг другу и обмениваться новостями.

Каждый разговор длится 1 час. За один разговор можно передать сколько угодно новостей.

Какое минимальное количество часов необходимо, чтобы все узнали все новости? Рассмотрите три случая:

  а)  <i>N</i> = 64,

  б)  <i>N</i> = 55,

  в)  <i>N</i> = 100.

В таблице <i>N</i>×<i>N</i>, заполненной числами, все строки различны (две строки называются различными, если они отличаются хотя бы в одном элементе).

Докажите, что из таблицы можно вычеркнуть некоторый столбец так, что в оставшейся таблице опять все строки будут различны.

На окружности имеются синие и красные точки. Разрешается добавить красную точку и поменять цвета её соседей, а также убрать красную точку и изменить цвета её бывших соседей. Пусть первоначально было всего две красные точки (менее двух точек оставлять не разрешается). Доказать, что за несколько разрешённых операций нельзя получить картину, состоящую из двух синих точек.

Куб размером10×10×10 сложен из 500 чёрных и 500 белых кубиков в шахматном порядке (кубики, примыкающие друг к другу гранями, имеют различные цвета). Из этого куба вынули 100 кубиков так, чтобы в каждом из 300 рядов размером1×1×10, параллельных какому-нибудь ребру куба, не хватало ровно одного кубика. Докажите, что число вынутых чёрных кубиков делится на 4.

Найдите все положительные числа <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x</i>₁₀, удовлетворяющие при всех  <i>k</i> = 1, 2,..., 10  условию   (<i>x</i>₁ + ... + <i>x_k</i>)(<i>x_k + ... + x</i>₁₀) = 1.

В некотором царстве, территория которого имеет форму квадрата со стороной 2 км, царь решает созвать всех жителей к 7 ч вечера к себе во дворец на бал. Для этого он в полдень посылает с поручением гонца, который может передать любое указание любому жителю, который в свою очередь может передать любое указание любому другому жителю и т.д. Каждый житель до поступления указания находится в известном месте (у себя дома) и может передвигаться со скоростью 3 км/ч в любом направлении (по прямой). Доказать, что царь может организовать оповещение так, чтобы все жители успели прийти к началу бала.

В пространстве расположены 2<i>n</i> точек, никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости. Проведены  <i>n</i>² + 1  отрезков с концами в этих точках. Докажите, что проведённые отрезки образуют

  а) хотя бы один треугольник;

  б) не менее <i>n</i> треугольников.

За круглым столом сидят <i>n</i> человек. Разрешается любых двух людей, сидящих рядом, поменять местами. Какое наименьшее число таких перестановок необходимо сделать, чтобы в результате каждые два соседа остались бы соседями, но сидели бы в обратном порядке?

Три прямолинейных коридора одинаковой длины <i>l</i> образуют фигуру, изображённую на рисунке. По ним бегают гангстер и полицейский. Максимальная скорость полицейского в 2 раза больше максимальной скорости гангстера. Полицейский сможет увидеть гангстера, если он окажется от него на расстоянии, не большем <i>r</i>. Доказать, что полицейский всегда может поймать гангстера, если:   а)  <i>r > ^l</i>/₃;   б)   <i>r > ^l</i>/₄;   в)   <i>r > ^l</i>/₅;   г)   <i>r > ^l</i>/₇. <div align="center"><img width="150&q...

а) Существует ли последовательность натуральных чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ..., обладающая следующим свойством: ни один член последовательности не равен сумме нескольких других и  <i>a_n ≤ n</i>¹⁰  при любом <i>n</i>? б) Тот же вопрос, если  <i>a_n ≤ n</i><img width="27" height="33" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79370/problem_79370_img_2.gif">  при любом <i>n</i>.