Олимпиадная задача по планиметрии: опорные хорды выпуклых многоугольников

  а) Рассмотрим какую-либо опорную хорду и будем поворачивать её против часовой стрелки так, чтобы она все время оставалась опорной. В каждом положении опорная хорда делит многоугольник F на две части, одна из которых не содержит многоугольник G. Площадь этой части, очевидно, является непрерывной функцией от угла поворота, и следовательно, на отрезке  [0, 2π]  достигает максимума. Докажем, что середина опорной хорды, отсекающей от F кусок максимальной площади, принадлежит контуру G.

  Предположим, что это не так: опорная хордаKL(см. рис.) отсекает отFкусок максимальной площади (на рисунке он справа от хорды), но её середина не принадлежит контуруG. ХордаKLсодержит одну или две вершиныG. ПустьA– ближайшая из них к серединеKLи  AL > AK  (лежащая наKLвторая вершина, если она есть, расположена на отрезкеAK). Рассмотрим достаточно близкую кKLопорную хордуMN, проходящую через точкуAи такую, что точкаMпринадлежит той части отсекаемой хордойKL, площадь которой нас интересует, той же стороне контураF, что и точкаK, и что симметричныйKMотносительно точкиAотрезокK'M'лежит внутриFи внеG(это возможно, так как согласно нашим предположениям точкаK', а значит, и все близкие к ней точки, лежат внутриFи внеG). Мы видим, что площадь куска, отсечённого хордойMN, больше площади куска, отсечённого хордойKL. Действительно, мы потеряли треугольникAKM, но зато приобрели больший по площади треугольникALN(он содержит внутри себя треугольникAK'M', равный треугольникуAKM). Но это противоречит максимальности площади куска, отсечённого хордойKL. Значит, предположение о том, что серединаKLне принадлежит контуру, было неверным.   б) Точно так же как в а) доказывается, что середина опорной хорды, отсекающей от F кусок минимальной площади, принадлежит контуру G.

Ответ задачи отсутствует