а) Новость, известная одному из друзей, после 1-го часа станет известна не более чем двум (включая первого), после второго часа – не более чем четырём, ..., после 5-го часа – не более чем 32. Итак, потребуется не менее 6 часов.

  Покажем, что 6 часов достаточно. Переговоры можно вести по следующей схеме. Занумеруем участников шестизначными двоичными числами. В k-й час беседуют люди, номера которых отличаются только в k-м разряде (например в 3-й час abc0de беседует с abc1de). При этом каждый час количество новостей, известных каждому, удваивается. (Например, после 2-го часа каждый знает четыре новости, известные четырём участникам с номерами, отличающимися от его номера в двух первых разрядах.)

  Замечание. Этот способ переговоров годится только для степеней двойки. Ниже изложен метод, который годится для любых чётных чисел.   в) То, что 6 часов мало, видно из а). Покажем, что 7 часов достаточно. Занумеруем участников элементами из  Z₅₀ × {–1, 1}.  В 1-й час участник с номером  (x, y)  беседует с  (x, – y),  во 2-й – с  (x + 1, – y),  в 3-й – с  (x + 3, – y),  в 4-й – с  (x + 7, – y),  в 5-й – с  (x + 15, –y),  в 6-й – с  (x + 31, – y),  в 7-й – с  (x + 63, – y).  При этом количество новостей у каждого из друзей каждый час (кроме последнего) удваивается. (Занумеруем новости так же, как друзей, знающих их в начале. После 1-го часа участник с номером  (0, 0)  знает все новости с  x = 0,  после 2-го – все новости с  x = 0, 1,  после 3-го – все новости с  x = 0, 1, 2, 3;  и т. д.)   б) В первый час один из участников ни с кем не беседует. Как видно из а), остальным, чтобы узнать его новость, потребуется еще не меньше 6 часов.

  Разделим участников на две группы: 32 и 23 человека. В 1-й час все члены второй группы беседуют с членами первой. За следующие 5 часов члены первой группы обмениваются новостями (по схеме из а) или из в); в результате каждый знает все новости). В последний час они сообщают всю информацию членам второй группы.

а)  6 часов,   б)  7 часов,   в)  7 часов.