Задача
Куб размером10×10×10 сложен из 500 чёрных и 500 белых кубиков в шахматном порядке (кубики, примыкающие друг к другу гранями, имеют различные цвета). Из этого куба вынули 100 кубиков так, чтобы в каждом из 300 рядов размером1×1×10, параллельных какому-нибудь ребру куба, не хватало ровно одного кубика. Докажите, что число вынутых чёрных кубиков делится на 4.
Решение
Разрежем исходный кубABCDEFGHна кубики 2×2×2. Разобьём все чёрные кубики на 4 группыMA,MC,MFиMHследующим образом: к группеMAотнесём те чёрные кубики, которые расположены в своих кубиках 2×2×2 там же, где расположен чёрный кубик при вершинеA(т. е. если он стоит в левом нижнем углу кубика 2×2×2), аналогично определяются группыMC,MFиMH. Таким же образом определяются множестваMB,MD,MEиMGбелых кубиков. Докажем, что из каждого множестваMA,MC,MFиMHвынуто по одинаковому количеству чёрных кубиков. Рассмотрим множестваMAиMB. Эти 2 множества заполняют 25 рядов, параллельных ребруAB. Поэтому изMAиMBвынуто в общей сложности 25 кубиков. Рассмотрим ещё, например, множествоMC. Из множествMBиMCтакже вынуто в общей сложности 25 кубиков. А так как все кубики, вынутые изMB — белые, изMCвынуто столько же кубиков, сколько их вынуто изMA. Очевидно, то же количество кубиков вынуто изMFиMHи, значит, общее количество вынутых кубиков делится на 4. Утверждение задачи доказано.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь