Решение 1:   Для произвольной расстановки нескольких красных и чётного числа 2k синих точек подсчитаем знакопеременную сумму

длин серий красных точек:m₁– число красных точек, заключённых между первой и второй синими точками,m₂– число красных точек между второй и третьей синими точками,m₃– между третьей и четвёртой, ...,m_2k– между последней и первой синими точками; некоторыеm_iмогут равняться нулю. Направление обхода и первая точка выбираются произвольно; при их измененииSможет поменять знак. (Если  k= 0,  тоSравно числу красных точек.) Заметим, что делимость числа |S| на 3 – инвариант: нетрудно проверить, что при любой допустимой операцииSизменяется ровно на 3. Но для двух красных точек наша сумма равна 2 (не делится на 3), а для двух синих точек – равна 0 (делится на 3).

Решение 2:   Для знатоков. Пусть сначала точки стоят на прямой. Рассмотрим группу симметрий правильного треугольника. Поставим в соответствие красной точке поворот r на 60°, синей – фиксированную симметрию s, а набору точек – соответствующую композицию преобразований. Условия можно записать в виде соотношений  r³ = s²,  sr² = rs,  srs = r²,  которые выполнены в указанной группе. Итак, эквивалентным наборам точек соответствуют одинаковые элементы группы.

  Закручивание в окружность приводит к тому, что одинаковым наборам соответствуют сопряженные элементы группы:  xU ≡ Ux.  Но элементы  s² = e  и r² не сопряжены.

Ответ задачи отсутствует