Олимпиадная задача по математике: Разбиение треугольника на клетки и полоски, 8–10 классы

  а) Примеры показаны на рисунках.

 Оценка.Первый способ. Разрежем треугольник средними линиями на четыре равных треугольника (рис. слева). Пусть нам удалось с соблюдением условий отметить некоторое количество клеток, причём в треугольникиAEF, BDF, CDE, DEFпопало соответственноa, b, cиdклеток. Заметим, что трапецияABDEпокрывается пятью полосками, параллельными сторонеAB. Поэтому в ней отмечено не более пяти клеток, то есть  a + b + d≤ 5.  Аналогично,  b + c + d≤ 5, a + c + d≤ 5.  Сложив эти три неравенства, получим  2(a + b + c + d) +d≤ 15.  Отсюда общее число  a + b + c + d  отмеченных клеток не больше 7.   Второй способ. Пусть нам удалось отметить k клеток. Проведём через каждую отмеченную клетку все три полоски, в которых она лежит, и подсчитаем общее количество M попавших в эти полоски клеток (если клетка попадает в несколько полосок, то будем считать ее с соответствующей кратностью).

  С одной стороны, каждая из 30 возможных полосок участвует в подсчёте столько раз, сколько в ней отмеченных клеток (то есть не более одного раза). Все полоски, взятые по разу, покрывают треугольник трижды, следовательно,  M ≤ 300.

  С другой стороны, три полоски, проходящие через одну отмеченную клетку, “закрывают” (с учетом кратности) не менее 39 клеток. (Действительно, если отмеченная клетка находится в левой вершине треугольника, то соответствующие полоски закрывают  19 + 19 + 1 = 39  клеток. При сдвиге отмеченной клетки вправо в соседнюю клетку, одна из полосок удлиняется на 2, а две другие не меняются; при следующем сдвиге одна из полосок сокращается на 2 и т. д. Поскольку сдвигами, параллельными сторонам треугольника, можно попасть в любую клетку, то количество клеток, закрытых соответствующими тремя полосками, всегда будет равно 39 для треугольничков, расположенных остриём вверх, и 41 для треугольничков, расположенных остриём вниз). Поэтому полоски, соответствующие всем отмеченным клеткам, закрывают не менее 39k клеток, то есть  M ≥ 39k.

  Итак,  39k ≤ 300,  то есть  k ≤ 7.   б) Примеры получаются из примеров к пункту а) отрезанием нижней полоски.   Оценка. Первый способ. Пусть нам удалось с соблюдением условий отметить некоторое количество клеток. При этом только одна из клеток, обозначенных на рисунке черными точками, может быть отмечена. В силу симметричности их расположения можно считать, что нижняя из этих клеток не отмечена. Разрежем оставшуюся часть треугольника на четыре куска (см. рис.).

  Те же рассуждения, что мы проводили в первом способе пункта а), показывают, что отмеченных клеток не больше, чем  (4 + 4 + 5) : 2 = 6,5 < 7.   Второй способ. Повторив рассуждения второго способа пункта а), получим неравенство  35k ≤ 243,  откуда  k ≤ 6.

а) 7;  б) 6 клеток.