Организуем оповещение следующим образом. Разобьём царство на 4 квадрата со стороной 1 км — квадраты 1-го ранга; каждый из этих квадратов разобьём на 4 квадрата со стороной 1/2 км— квадраты 2-го ранга, эти квадраты в свою очередь на квадраты 3-го ранга (со стороной 1/4 км) и т. д., пока не дойдём до столь большого рангаn, что в каждом квадрате этого ранга будет не более одного жителя царства (жителей, попавших за общую границу нескольких квадратов нужно произвольно распределить по этим квадратам). Оповещение будет происходить поэтапно. Цель 1-го этапа — оповестить по одному жителю в каждом из (населённых) квадратов 1-го ранга, после чего гонец и все посыльные должны вернуться в исходные пункты. На 2-м этапе каждый из уже оповещённых жителей, действуя как гонец на 1-м этапе, устраивает оповещение каждого из квадратов 2-го ранга а своем квадрате 1-го ранга, на 3-м этапе оповещаются по одному жителю в каждом квадрате 3-го ранга и т. д.. Послеn-го этапа будут оповещены все жители. Оценим время, необходимое для 1-го этапа оповещения. Поскольку расстояние между любыми двумя точками квадрата со стороной 2 км не превосходит 2$\sqrt{2}$км, при скорости 3 км/ч его можно пройти меньше чем за 1 ч. Поэтому по схеме, показанной на рисунке, 1-й этап можно осуществить не более чем за 3 ч (гонецAоповещает жителейBиC, жительB- жителяD; если в одном из квадратов 1-го ранга жителей не окажется, время оповещения может только сократиться). Второй этап повторяет первый одновременно в четырёх квадратах с вдвое меньшей стороной — он потребует не более 3/2 ч; вообще,k-й этап осуществляется за$\displaystyle {\frac{3}{2^{k-1}}}$ч, а для оповещения всех жителей понадобится3 + 3/2 + ... +$\displaystyle {\frac{3}{2^{n-1}}}$< 6 ч.

Таким образом, к 6 часам вечера все жители получат приглашение на бал; ещё час им потребуется, чтобы прибыть во дворец.

Ответ задачи отсутствует