Олимпиадные задачи из источника «1973 год» для 10 класса - сложность 3 с решениями
У трёхгранного угла проведены биссектрисы плоских углов. Доказать, что попарные углы между биссектрисами либо одновременно тупые, либо одновременно прямые, либо одновременно острые.
В концах отрезка пишутся две единицы. Посередине между ними пишется их сумма – число 2. Затем посередине между каждыми двумя соседними из написанных чисел снова пишется их сумма и так далее 1973 раза. Сколько раз будет написано число 1973?
На бумагу поставили кляксу. Для каждой точки кляксы определили наименьшее и наибольшее расстояние до границы кляксы. Среди всех наименьших расстояний выбрали наибольшее, а среди наибольших выбрали наименьшее и сравнили полученные два числа. Какую форму имеет клякса, если эти два числа равны между собой?
Грани кубика занумерованы 1, 2, 3, 4, 5, 6, так, что сумма номеров на противоположных гранях кубика равна 7. Дана шахматная доска 50×50 клеток, каждая клетка равна грани кубика. Кубик перекатывается из левого нижнего угла доски в правый верхний. При перекатывании он каждый раз переваливается через свое ребро на соседнюю клетку, при этом разрешается двигаться только вправо или вверх (нельзя двигаться влево или вниз). На каждой из клеток на пути кубика имеется номер грани, которая опиралась на эту клетку. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех написанных чисел? Какое наименьшее значение она может принимать?
На плоскости даны две точки <i>A</i> и <i>B</i>. Пусть <i>C</i> – некоторая точка плоскости, равноудалённая от точек <i>A</i> и <i>B</i>. Построим последовательность точек
<i>C</i><sub>1</sub> = <i>C, C</i><sub>2</sub>, <i>C</i><sub>3</sub>, ..., где <i>C</i><sub><i>n</i>+1</sub> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC<sub>n</sub></i>. При каком положении точки <i>C</i>
а) точка <i>C<sub>n</sub></i> попадёт в середину отрезка <i>AB</i> (при этом <i>C</i><sub><i>n</i>+1</sub> и дальнейшие члены последова...
а) Имеется 51 двузначное число. Докажите, что из этих чисел можно выбрать по крайней мере 6 чисел так, чтобы никакие два из выбранных чисел ни в одном разряде не имели одинаковой цифры. б) Даны натуральные числа <i>k</i> и <i>n</i>, причём 1 < <i>k < n</i>. Для какого наименьшего <i>m</i> верно следующее утверждение: при любой расстановке <i>m</i> ладей на доске размером <i>n×n</i> клеток можно выбрать <i>k</i> ладей из этих <i>m</i> так, чтобы никакие две из этих выбранных ладей не били друг друга?
Натуральное число называют совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, кроме самого этого числа. (Например, число 28 – совершенное: 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.) Докажите, что совершенное число не может быть полным квадратом.
Король обошёл шахматную доску, побывав на каждом поле ровно один раз и вернувшись последним ходом на исходное поле. (Король ходит по обычным правилам: за один ход он может перейти по горизонтали, вертикали или диагонали на любое соседнее поле.) Когда нарисовали его путь, последовательно соединив центры полей, которые он проходил, получилась замкнутая ломаная без самопересечений. Какую наименьшую и какую наибольшую длину может она иметь? (Сторона клетки равна единице.)
В пространстве заданы четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
Сколько существует различных параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?
Дано <i>n</i> точек, <i>n</i> > 4. Докажите, что можно соединить их стрелками так, чтобы из каждой точки в любую другую можно было попасть, пройдя либо по одной стрелке, либо по двум (каждые две точки можно соединить стрелкой только в одном направлении; идти по стрелке можно только в указанном на ней направлении).
Известно, что разность между наибольшим и наименьшим из чисел <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, <i>x</i><sub>3</sub>, ..., <i>x</i><sub>9</sub>, <i>x</i><sub>10</sub> равна 1. Какой а) наибольшей; б) наименьшей может быть разность между наибольшим и наименьшим из 10 чисел <i>x</i><sub>1</sub>, ½ (<i>x</i><sub>1</sub> + <i>x</i><sub>2</sub>), ⅓ (<i>x</i><sub>1</sub> + <i>x</i><sub>2</sub> + <i>x</i><sub>3</sub>), ..., <sup>1</sup>/<sub>10</sub> (<i>x</i><sub>1<...
Дана бесконечная последовательность цифр. Докажите, что для любого натурального числа <i>n</i>, взаимно простого с числом 10, можно указать такую группу стоящих подряд цифр последовательности, что записываемое этими цифрами число делится на <i>n</i>.
24 студента решали 25 задач. У преподавателя есть таблица размером 24×25, в которой записано, кто какие задачи решил. Оказалось, что каждую задачу решил хотя бы один студент. Докажите, что
а) можно отметить некоторые задачи "галочкой" так, что каждый из студентов решил чётное число (в частности, может быть, нуль) отмеченных задач;
б) можно отметить некоторые из задач знаком "+", а некоторые из остальных – знаком "–" и приписать каждой задаче некоторое натуральное число баллов так, чтобы каждый студент набрал поровну баллов за задачи, отмеченные знаками "+" и "–".
Из последовательности <i>a</i>, <i>a + d, a</i> + 2<i>d, a</i> + 3<i>d</i>, ..., являющейся бесконечной арифметической прогрессией, где <i>d</i> не равно 0, тогда и только тогда можно выбрать подпоследовательность, являющуюся бесконечной геометрической прогрессией, когда отношение <sup><i>a</i></sup>/<sub><i>d</i></sub> рационально. Докажите это.
а) Докажите, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73734/problem_73734_img_2.gif"> (сумма берётся по всем целым <i>i</i>, 0 ≤ <i>i ≤ <sup>n</sup></i>/<sub>2</sub>). б) Докажите, что если <i>p</i> и <i>q</i> – различные числа и <i>p + q</i> = 1, то <div align="center"><img src="/storage/problem-media/73734/problem_73734_img_3.gif"></div>
В прямоугольную таблицу из <i>m</i> строк и <i>n</i> столбцов записаны <i>mn</i> положительных чисел. Найдём в каждом столбце произведение чисел и сложим все <i>n</i> таких произведений. Докажите, что если переставить числа в каждой строке в порядке возрастания, то сумма аналогичных произведений будет не меньше, чем в первоначальной. Решите эту задачу для
а) <i>m = n</i> = 2;
б) <i>m</i> = 2 и произвольного <i>n</i>;
в) любых натуральных <i>m</i> и <i>n</i>.
Даны два взаимно простых натуральных числа <i>a</i> и <i>b</i>. Рассмотрим множество <i>M</i> целых чисел, представимых в виде <i>ax + by</i>, где <i>x</i> и <i>y</i> – целые неотрицательные числа.
а) Каково наибольшее целое число <i>c</i>, не принадлежащее множеству <i>М</i>?
б) Докажите, что из двух чисел <i>n</i> и <i>с</i> – <i>n</i> (где <i>n</i> – любое целое) одно принадлежит <i>М</i>, а другое нет.
Между некоторыми из 2<i>n</i> городов установлено воздушное сообщение, причём каждый город связан (беспосадочными рейсами) не менее чем с <i>n</i> другими.
а) Докажите, что если отменить любые <i>n</i> – 1 рейсов, то всё равно из любого города можно добраться в любой другой на самолётах (с пересадками).
б) Укажите все случаи, когда связность нарушается при отмене <i>n</i> рейсов.
Докажите, что для любого натурального числа <i>n</i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73719/problem_73719_img_2.gif">
Докажите, что если
а) <i>a, b</i> и <i>c</i> – положительные числа, то <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73717/problem_73717_img_2.gif"> б) <i>a, b, c</i> и <i>d</i> – положительные числа, <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73717/problem_73717_img_3.gif"> в) <i>a</i><sub>1</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i> – положительные числа (<i>n</i> > 1), то <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73717/problem_73717_img_4.gif">
Какую наименьшую длину должен иметь кусок проволоки, чтобы из него можно было согнуть каркас куба с ребром 10 см?
(Проволока может проходить по одному ребру дважды, загибаться <nobr>на 90° и 180°, но ломать её нельзя.)</nobr>
В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд. Докажите, что если каждый диаметр пересекает не более <i>k</i>хорд, то сумма длин хорд меньше$\pi$<i>k</i>.