Олимпиадные задачи из источника «1972 год» для 3-8 класса - сложность 3 с решениями
В квадратной таблице 4×4 расставлены числа 1, 2, 3, ..., 16 так, что сумма четырёх чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой из двух диагоналей равна одному и тому же числу, причём числа 1 и 16 стоят в противоположных углах таблицы. Докажите, что в этом "магическом квадрате" сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, одна и та же.
На плоскости нарисован правильный шестиугольник, длина стороны которого равна 1. При помощи одной только линейки постройте отрезок, длина которого равна <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73706/problem_73706_img_2.gif">
В любой арифметической прогрессии <i>a, a + d, a</i> + 2<i>d, ..., a + nd</i>, ..., составленной из натуральных чисел, есть бесконечно много членов, в разложении которых на простые множители входят в точности одни и те же простые числа. Докажите это.
а) В вершинах правильного семиугольника расставлены чёрные и белые фишки. Докажите, что найдутся три фишки одного цвета,
лежащие в вершинах равнобедренного треугольника. б) Верно ли аналогичное утверждение для восьмиугольника? в) Для каких правильных <i>n</i>-угольников аналогичное верно, а для каких – нет.
а) Докажите, что нельзя занумеровать рёбра куба числами 1, 2, ..., 11, 12 так, чтобы для каждой вершины сумма номеров трёх выходящих из неё рёбер была одной и той же. б) Можно ли вычеркнуть одно из чисел 1, 2, ..., 12, 13 и оставшимися занумеровать рёбра куба так, чтобы выполнялось то же условие?
а) В ведро налили 12 литров молока. Пользуясь лишь сосудами в 5 и 7 л, разделите молоко на две равные части.
б) Решите общую задачу: при каких <i>a</i> и <i>b</i> можно разделить пополам <i>a + b</i> литров молока, пользуясь лишь сосудами в <i>a</i> литров, <i>b</i> литров и <i>a + b</i> литров? За одно переливание из одного сосуда в другой можно вылить всё, что там есть, или долить второй сосуд до верха.
Для любых <i>n</i> вещественных чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i> существует такое натуральное <i>k ≤ n</i>, что каждое из <i>k</i> чисел <i>a</i><sub><i>k</i></sub>, ½ (<i>a<sub>k</sub> + a</i><sub><i>k</i>–1</sub>),
⅓ (<i>a<sub>k</sub> + a</i><sub><i>k</i>–1</sub> + <i>a</i><sub><i>k</i>–2</sub>), ..., <sup>1</sup>/<sub><i>k</i></sub> (<i>a<sub>k</sub> + a</i><sub><i>k</i>–1</su...
Диагонали выпуклого четырёхугольника взаимно перпендикулярны. Докажите, что четыре проекции точки пересечения диагоналей на стороны четырёхугольника лежат на одной окружности.
Пятиугольник <i>ABCDE</i> вписан в окружность. Расстояния от точки <i>A</i> до прямых <i>BC, CD</i> и <i>DE</i> равны соответственно <i>a, b</i> и <i>c</i>.
Найдите расстояние от вершины <i>A</i> до прямой <i>BE</i>.