Олимпиадные задачи из источника «глава 5. Треугольники» - сложность 5 с решениями

Докажите, что прямые, соединяющие середины сторон треугольника с серединами соответствующих высот, пересекаются в точке Лемуана.

Прямые <i>AK</i>,<i>BK</i>и <i>CK</i>, где <i>K</i> — точка Лемуана треугольника <i>ABC</i>, пересекают описанную окружность в точках <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Докажите, что <i>K</i> — точка Лемуана треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁.

Пусть <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁ — проекции точки Лемуана <i>K</i>треугольника <i>ABC</i>на стороны <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>. Докажите, что медиана <i>AM</i>треугольника <i>ABC</i>перпендикулярна прямой <i>B</i>₁<i>C</i>₁.

Пусть <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁ — проекции точки Лемуана <i>K</i>на стороны треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что <i>K</i> — точка пересечения медиан треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁.

а) Через точку Лемуана<i>K</i>проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Докажите, что точки их пересечения со сторонами треугольника лежат на одной окружности (<i>первая окружность Лемуана</i>). б) Через точку Лемуана<i>K</i>проведены прямые, антипараллельные сторонам треугольника. Докажите, что точки их пересечения со сторонами треугольника лежат на одной окружности (<i>вторая окружность Лемуана</i>).

Докажите, что центр окружности Тукера лежит на прямой<i>KO</i>, где<i>K</i>— точка Лемуана,<i>O</i>— центр описанной окружности.

Опустим из точки<i>M</i>перпендикуляры<i>MA</i>₁,<i>MB</i>₁и<i>MC</i>₁на прямые<i>BC</i>,<i>CA</i>и<i>AB</i>. Для фиксированного треугольника<i>ABC</i>множество точек<i>M</i>, для которых угол Брокара треугольника<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁имеет заданное значение, состоит из двух окружностей, причем одна из них расположена внутри описанной окружности треугольника<i>ABC</i>, а другая вне ее (<i>окружности Схоуте</i>).

Пусть вершины<i>B</i>и<i>C</i>треугольника фиксированы, а вершина<i>A</i>движется так, что угол Брокара$\varphi$треугольника<i>ABC</i>остается постоянным. Тогда точка<i>A</i>движется по окружности радиуса(<i>a</i>/2)$\sqrt{{\rm ctg}^2\varphi -3}$, где<i>a</i>=<i>BC</i>(<i>окружность Нейберга</i>).

Докажите, что для угла Брокара$\varphi$выполняются следующие неравенства: а)$\varphi^{3}{}$$\le$($\alpha$-$\varphi$)($\beta$-$\varphi$)($\gamma$-$\varphi$); б)8$\varphi^{3}{}$$\le$$\alpha$$\beta$$\gamma$(<i>неравенство Йиффа</i>).

На сторонах <i>CA</i>,<i>AB</i>и <i>BC</i>остроугольного треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁так, что $\angle$<i>AB</i>₁<i>A</i>₁=$\angle$<i>BC</i>₁<i>B</i>₁=$\angle$<i>CA</i>₁<i>C</i>₁. Докажите, что $\triangle$<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁$\sim$$\triangle$<i>ABC</i>, причем центр поворотной...

Пусть <i>P</i>и <i>Q</i> — первая и вторая точки Брокара треугольника <i>ABC</i>. Прямые <i>CP</i>и <i>BQ</i>, <i>AP</i>и <i>CQ</i>, <i>BP</i>и <i>AQ</i>пересекаются в точках <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁проходит через точки <i>P</i>и <i>Q</i>.

Пусть <i>P</i> — точка Брокара треугольника <i>ABC</i>; <i>R</i>₁,<i>R</i>₂и <i>R</i>₃ — радиусы описанных окружностей треугольников <i>ABP</i>,<i>BCP</i>и <i>CAP</i>. Докажите, что <i>R</i>₁<i>R</i>₂<i>R</i>₃=<i>R</i>³, где <i>R</i> — радиус описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Пусть <i>Q</i> — вторая точка Брокара треугольника <i>ABC</i>, <i>O</i> — центр его описанной окружности, <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁ — центры описанных окружностей треугольников <i>CAQ</i>,<i>ABQ</i>и <i>BCQ</i>. Докажите, что $\triangle$<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁$\sim$$\triangle$<i>ABC</i>и <i>O</i> — первая точка Брокара треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁.

В треугольнике <i>ABC</i>проведены высоты <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁. Пусть <i>A</i>₁<i>A</i>₂,<i>B</i>₁<i>B</i>₂и <i>C</i>₁<i>C</i>₂ — диаметры окружности девяти точек треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что прямые <i>AA</i>₂,<i>BB</i>₂и <i>CC</i>₂пересекаются в одной точке (или параллельны).

Вписанная окружность касается сторон треугольника <i>ABC</i>в точках <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Докажите, что прямая Эйлера треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁проходит через центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Дан параллелограмм<i>ABCD</i>. Докажите, что подерная окружность точки<i>D</i>относительно треугольника<i>ABC</i>проходит через точку пересечения его диагоналей.

Даны два треугольника<i>ABC</i>и<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁. Перпендикуляры, опущенные из точек<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>на прямые<i>B</i>₁<i>C</i>₁,<i>C</i>₁<i>A</i>₁,<i>A</i>₁<i>B</i>₁пересекаются в одной точке. Докажите, что тогда перпендикуляры, опущенные из точек<i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁на прямые<i>BC</i>,<...

а) Точки <i>P</i>₁и <i>P</i>₂изогонально сопряжены относительно треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что их подерные окружности (описанные окружности подерных треугольников (см. задачу<a href="https://mirolimp.ru/tasks/156949">5.99</a>)) совпадают, причем центром этой окружности является середина отрезка <i>P</i>₁<i>P</i>₂. б) Докажите, что это утверждение останется верным, если из точек <i>P</i>₁и <i>P</i>₂проводить не перпендикуляры к сторонам, а прямые под данным (ориентированным) углом. в) Докажите, что стороны подерного треугольника точки<i>...

Из точки <i>P</i>опущены перпендикуляры <i>PA</i>₁,<i>PB</i>₁и <i>PC</i>₁на стороны треугольника <i>ABC</i>. Прямая <i>l</i>_aсоединяет середины отрезков <i>PA</i>и <i>B</i>₁<i>C</i>₁. Аналогично определяются прямые <i>l</i>_bи <i>l</i>_c. Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке.

Треугольник <i>ABC</i>вписан в окружность радиуса <i>R</i>с центром <i>O</i>. Докажите, что площадь подерного треугольника точки <i>P</i>относительно треугольника <i>ABC</i>(см. задачу<a href="https://mirolimp.ru/tasks/156949">5.99</a>) равна ${\frac{1}{4}}$$\left\vert\vphantom{1-\frac{d^2}{R^2}}\right.$1 -${\frac{d^2}{R^2}}$$\left.\vphantom{1-\frac{d^2}{R^2}}\right\vert$<i>S</i>_ABC, где <i>d</i>=<i>PO</i>.

а) Докажите, что проекции точки <i>P</i>описанной окружности четырехугольника <i>ABCD</i>на прямые Симсона треугольников <i>BCD</i>,<i>CDA</i>,<i>DAB</i>и <i>BAC</i>лежат на одной прямой (прямая Симсона вписанного четырехугольника). б) Докажите, что аналогично по индукции можно определить прямую Симсона вписанного <i>n</i>-угольника как прямую, содержащую проекции точки <i>P</i>на прямые Симсона всех (<i>n</i>- 1)-угольников, полученных выбрасыванием одной из вершин <i>n</i>-угольника.

Четырехугольник <i>ABCD</i>вписан в окружность; <i>l</i>_a — прямая Симсона точки <i>A</i>относительно треугольника <i>BCD</i>, прямые <i>l</i>_b,<i>l</i>_cи <i>l</i>_dопределяются аналогично. Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке.

Высоты треугольника <i>ABC</i>пересекаются в точке <i>H</i>; <i>P</i> — точка его описанной окружности. Докажите, что прямая Симсона точки <i>P</i>относительно треугольника <i>ABC</i>делит отрезок <i>PH</i>пополам.

Хорда <i>PQ</i>описанной окружности треугольника <i>ABC</i>перпендикулярна стороне <i>BC</i>. Докажите, что прямая Симсона точки <i>P</i>относительно треугольника <i>ABC</i>параллельна прямой <i>AQ</i>.

Точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и<i>P</i>лежат на окружности с центром<i>O</i>. Стороны треугольника<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁параллельны прямым<i>PA</i>,<i>PB</i>,<i>PC</i>(<i>PA</i>|<i>B</i>₁<i>C</i>₁и т. д.). Через вершины треугольника<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁проведены прямые, параллельные сторонам треугольника<i>ABC</i>. а) Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке<i>P</i&...