Задачи и олимпиады по математике

Задача

Опустим из точкиMперпендикулярыMA₁,MB₁иMC₁на прямыеBC,CAиAB. Для фиксированного треугольникаABCмножество точекM, для которых угол Брокара треугольникаA₁B₁C₁имеет заданное значение, состоит из двух окружностей, причем одна из них расположена внутри описанной окружности треугольникаABC, а другая вне ее (окружности Схоуте).

Решение

Пустьa₁,b₁,c₁ — длины сторон треугольникаA₁B₁C₁,S₁ — его площадь. В теореме речь идет о множестве точекM, для которых выполняется равенство

4S₁ctg$\displaystyle \varphi$ = a²₁ + b₁² + c₁².

ТочкиB₁иC₁лежат на окружности с диаметромAM, поэтому

a₁ = B₁C₁ = AM sin B₁AC₁ = $\displaystyle {\frac{aAM}{2R}}$,

гдеR — радиус описанной окружности треугольникаABC. Таким образом,

a²₁ + b₁² + c₁² = $\displaystyle {\frac{a^2AM^2+b^2BM^2+c^2CM^2}{4R^2}}$.

Поэтому если (x,y) — координаты точкиMв некоторой прямоугольной системе координат, то

a²₁ + b₁² + c₁² = $\displaystyle {\frac{a^2+b^2+c^2}{4R^2}}$(x² + y²) + px + qy + r,

гдеp,q,r — постоянные числа. ДляS₁тоже можно получить выражение через координаты (x,y) точкиM. При этом начало системы координат удобно расположить в центреOописанной окружности треугольникаABC. В таком случае

S₁ = $\displaystyle {\frac{S_{ABC}}{4R^2}}$$\displaystyle \left\vert\vphantom{R^2-x^2-y^2}\right.$R² - x² - y²$\displaystyle \left.\vphantom{R^2-x^2-y^2}\right\vert$

(задача5.102). УравнениеS₁= 0 определяет описанную окружность треугольникаABC. Это множество соответствует нулевому углу Брокара. Углу Брокара$\varphi$соответствует множество

±ctg$\displaystyle \varphi$ $\displaystyle {\frac{S_{ABC}}{4R^2}}$(R² - x² - y²) = $\displaystyle {\frac{a^2+b^2+c^2}{4R^2}}$(x² + y²) + px + qy + r.

При этом знак плюс берется для точек внутри описанной окружности, а знак минус берется для точек вне описанной окружности. Легко видеть, что каждое из полученных уравнений является уравнением окружности. Дело в том, что еслиf= 0 иg= 0 — уравнения окружностей, то$\lambda$f=g — тоже уравнение окружности. Более того, центр окружности$\lambda$f=gлежит на прямой, соединяющей центры окружностейf= 0 иg= 0. В нашем случае центром одной окружности служит центр описанной окружности треугольникаABC, а центром второй окружности служит точка, для которой величинаa²AM²+b²BM²+c²CM²минимальна (точка Лемуана).

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления