Задача
Пусть Q — вторая точка Брокара треугольника ABC, O — центр его описанной окружности, A1,B1и C1 — центры описанных окружностей треугольников CAQ,ABQи BCQ. Докажите, что $\triangle$A1B1C1$\sim$$\triangle$ABCи O — первая точка Брокара треугольника A1B1C1.
Решение
Прямые A1B1,B1C1и C1A1являются серединными перпендикулярами к отрезкам AQ,BQи CQ. Поэтому, например, $\angle$B1A1C1= 180o-$\angle$AQC=$\angle$A. Для других углов доказательство аналогично. Кроме того, прямые A1O,B1Oи C1Oявляются серединными перпендикулярами к отрезкам CA,ABи BC. Поэтому, например, острые углы OA1C1и ACQимеют взаимно перпендикулярные стороны, поэтому они равны. Аналогичные рассуждения показывают, что $\angle$OA1C1=$\angle$OB1A1=$\angle$OC1B1=$\varphi$, где $\varphi$ — угол Брокара треугольника ABC.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь