Олимпиадные задачи из источника «параграф 12. Точки Брокара»

Опустим из точки<i>M</i>перпендикуляры<i>MA</i>₁,<i>MB</i>₁и<i>MC</i>₁на прямые<i>BC</i>,<i>CA</i>и<i>AB</i>. Для фиксированного треугольника<i>ABC</i>множество точек<i>M</i>, для которых угол Брокара треугольника<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁имеет заданное значение, состоит из двух окружностей, причем одна из них расположена внутри описанной окружности треугольника<i>ABC</i>, а другая вне ее (<i>окружности Схоуте</i>).

Пусть вершины<i>B</i>и<i>C</i>треугольника фиксированы, а вершина<i>A</i>движется так, что угол Брокара$\varphi$треугольника<i>ABC</i>остается постоянным. Тогда точка<i>A</i>движется по окружности радиуса(<i>a</i>/2)$\sqrt{{\rm ctg}^2\varphi -3}$, где<i>a</i>=<i>BC</i>(<i>окружность Нейберга</i>).

Докажите, что для угла Брокара$\varphi$выполняются следующие неравенства: а)$\varphi^{3}{}$$\le$($\alpha$-$\varphi$)($\beta$-$\varphi$)($\gamma$-$\varphi$); б)8$\varphi^{3}{}$$\le$$\alpha$$\beta$$\gamma$(<i>неравенство Йиффа</i>).

На сторонах <i>CA</i>,<i>AB</i>и <i>BC</i>остроугольного треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁так, что $\angle$<i>AB</i>₁<i>A</i>₁=$\angle$<i>BC</i>₁<i>B</i>₁=$\angle$<i>CA</i>₁<i>C</i>₁. Докажите, что $\triangle$<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁$\sim$$\triangle$<i>ABC</i>, причем центр поворотной...

Пусть <i>P</i>и <i>Q</i> — первая и вторая точки Брокара треугольника <i>ABC</i>. Прямые <i>CP</i>и <i>BQ</i>, <i>AP</i>и <i>CQ</i>, <i>BP</i>и <i>AQ</i>пересекаются в точках <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁проходит через точки <i>P</i>и <i>Q</i>.

Пусть <i>P</i> — точка Брокара треугольника <i>ABC</i>; <i>R</i>₁,<i>R</i>₂и <i>R</i>₃ — радиусы описанных окружностей треугольников <i>ABP</i>,<i>BCP</i>и <i>CAP</i>. Докажите, что <i>R</i>₁<i>R</i>₂<i>R</i>₃=<i>R</i>³, где <i>R</i> — радиус описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Пусть <i>Q</i> — вторая точка Брокара треугольника <i>ABC</i>, <i>O</i> — центр его описанной окружности, <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁ — центры описанных окружностей треугольников <i>CAQ</i>,<i>ABQ</i>и <i>BCQ</i>. Докажите, что $\triangle$<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁$\sim$$\triangle$<i>ABC</i>и <i>O</i> — первая точка Брокара треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁.

а) Докажите, что угол Брокара любого треугольника не превосходит 30^<tt>o</tt>. б) Внутри треугольника <i>ABC</i>взята точка <i>M</i>. Докажите, что один из углов <i>ABM</i>,<i>BCM</i>и <i>CAM</i>не превосходит 30^<tt>o</tt>.

а) Пусть <i>P</i> — точка Брокара треугольника <i>ABC</i>. Угол $\varphi$=$\angle$<i>ABP</i>=$\angle$<i>BCP</i>=$\angle$<i>CAP</i>называется<i>углом Брокара</i>этого треугольника. Докажите, что <i>ctg</i>$\varphi$=<i>ctg</i>$\alpha$+<i>ctg</i>$\beta$+<i>ctg</i>$\gamma$. б) Докажите, что точки Брокара треугольника <i>ABC</i>изогонально сопряжены. в) Касательная к описанной окружности треугольника <i>ABC</i>в точке <i>C</i>и прямая, проходящая через точку <i>B</i>параллельно <i>AC</i>, пересекаются в точке <i>A</i>₁. Докажите, что угол Брокара треугольника <i>ABC</i>ра...

а) Через точку Брокара <i>P</i>треугольника <i>ABC</i>проведены прямые <i>AP</i>,<i>BP</i>и <i>CP</i>, пересекающие описанную окружность в точках <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Докажите, что $\triangle$<i>ABC</i>=$\triangle$<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>A</i>₁. б) Треугольник <i>ABC</i>вписан в окружность <i>S</i>. Докажите, что треугольник, образованный точками пересечения прямых <i>PA</i>,<i>PB</i>и <i>PC</i>с окружностью <i>S</i>, может быть равен...

а) Докажите, что внутри треугольника <i>ABC</i>существует такая точка <i>P</i>, что $\angle$<i>ABP</i>=$\angle$<i>CAP</i>=$\angle$<i>BCP</i>. б) На сторонах треугольника <i>ABC</i>внешним образом построены подобные ему треугольники <i>CA</i>₁<i>B</i>,<i>CAB</i>₁и <i>C</i>₁<i>AB</i>(углы при первых вершинах всех четырех треугольников равны и т. д.). Докажите, что прямые <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁пересекаются в одной точке, причем эта точка совпадает с точкой задачи а).