Задача
На сторонах CA,ABи BCостроугольного треугольника ABCвзяты точки A1,B1и C1так, что $\angle$AB1A1=$\angle$BC1B1=$\angle$CA1C1. Докажите, что $\triangle$A1B1C1$\sim$$\triangle$ABC, причем центр поворотной гомотетии, переводящей один треугольник в другой, совпадает с первой точкой Брокара обоих треугольников.
Решение
Так как $\angle$CA1B1=$\angle$A+$\angle$AB1A1и $\angle$AB1A1=$\angle$CA1C1, то $\angle$B1A1C1=$\angle$A. Аналогично доказывается, что равны и остальные углы треугольников ABCи A1B1C1. Описанные окружности треугольников AA1B1,BB1C1и CC1A1пересекаются в одной точке O(задача 2.80, а)). Ясно, что $\angle$AOA1=$\angle$AB1A1=$\varphi$. Аналогично $\angle$BOB1=$\angle$COC1=$\varphi$. Поэтому $\angle$AOB=$\angle$A1OB1= 180o-$\angle$A. Аналогично $\angle$BOC= 180o-$\angle$Bи $\angle$COA= 180o-$\angle$C, т. е. O — первая точка Брокара обоих треугольников. Следовательно, при поворотной гомотетии на угол $\varphi$с центром Oи коэффициентом AO/A1Oтреугольник A1B1C1переходит в треугольник ABC.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь