а) Пусть B₁,C₁и D₁ — проекции точки Pна прямые AB,ACи AD. Точки B₁,C₁и D₁лежат на окружности с диаметром AP. Прямые B₁C₁,C₁D₁и D₁B₁являются прямыми Симсона точки Pотносительно треугольников ABC,ACDи ADBсоответственно. Поэтому проекции точки Pна прямые Симсона этих треугольников лежат на одной прямой — прямой Симсона треугольника B₁C₁D₁. Аналогично доказывается, что на одной прямой лежит любая тройка рассматриваемых точек. б) Пусть P — точка описанной окружности n-угольникаA₁...A_n;B₂,B₃,...,B_n — проекции точки Pна прямые A₁A₂,...,A₁A_n. Точки B₂,...,B_nлежат на окружности с диаметром A₁P. Докажем по индукции, что прямая Симсона точки Pотносительно n-угольника A₁...A_nсовпадает с прямой Симсона точки Pотносительно (n- 1)-угольника B₂...B_n(для n= 4 это было доказано в задаче а). По предложению индукции прямая Симсона (n- 1)-угольника A₁A₃...A_nсовпадает с прямой Симсона (n- 2)-угольника B₃...B_n. Поэтому проекции точки Pна прямые Симсона (n- 1)-угольников, вершины которых получаются последовательным исключением точек A₂,...,A_nиз набора A₁,...,A_n, лежат на прямой Симсона (n- 1)-угольника B₂...B_n. А проекция точки Pна прямую Симсона (n- 1)-угольника A₂...A_nлежит на той же прямой потому, что наши рассуждения показывают, что любые n- 1 из рассматриваемых nточек проекций лежат на одной прямой.

Ответ задачи отсутствует