Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Вписанная и описанная окружности»
параграф 1. Вписанная и описанная окружности
НазадМедианы треугольника<i>ABC</i>разрезают его на 6 треугольников. Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности.
В треугольнике <i>ABC</i>сторона <i>BC</i>наименьшая. На лучах <i>BA</i>и <i>CA</i>отложены отрезки <i>BD</i>и <i>CE</i>, равные <i>BC</i>. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника <i>ADE</i>равен расстоянию между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника <i>ABC</i>.
Длины сторон треугольника <i>ABC</i>образуют арифметическую прогрессию, причем <i>a</i><<i>b</i><<i>c</i>. Биссектриса угла <i>B</i>пересекает описанную окружность в точке <i>B</i><sub>1</sub>. Докажите, что центр <i>O</i>вписанной окружности делит отрезок <i>BB</i><sub>1</sub>пополам.
Продолжения биссектрис углов треугольника <i>ABC</i>пересекают описанную окружность в точках <i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и <i>C</i><sub>1</sub>; <i>M</i> — точка пересечения биссектрис. Докажите, что:<div align="CENTER"> a) $\displaystyle {\frac{MA\cdot MC}{MB_1}}$ = 2<i>r</i>; б) $\displaystyle {\frac{MA_1\cdot MC_1}{MB}}$ = <i>R</i>. </div>
Пусть<i>O</i>— центр описанной окружности треугольника<i>ABC</i>,<i>I</i>— центр вписанной окружности. Докажите, что<i>OB</i>$\bot$<i>BI</i>(или же<i>O</i>совпадает с<i>I</i>) тогда и только тогда, когда<i>b</i>= (<i>a</i>+<i>c</i>)/2.
Пусть <i>O</i> — центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>, <i>I</i> — центр вписанной окружности, <i>I</i><sub>a</sub> — центр вневписанной окружности, касающейся стороны <i>BC</i>. Докажите, что: а) <i>d</i><sup>2</sup>=<i>R</i><sup>2</sup>- 2<i>Rr</i>, где <i>d</i>=<i>OI</i>; б) <i>d</i><sub>a</sub><sup>2</sup>=<i>R</i><sup>2</sup>+ 2<i>Rr</i><sub>a</sub>, где <i>d</i><sub>a</sub>=<i>OI</i><sub>a</sub>.
Из точки <i>P</i>дуги <i>BC</i>описанной окружности треугольника <i>ABC</i>опущены перпендикуляры <i>PX</i>,<i>PY</i>и <i>PZ</i>на <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>соответственно. Докажите, что ${\frac{BC}{PX}}$=${\frac{AC}{PY}}$+${\frac{AB}{PZ}}$.
Докажите, что точки, симметричные точке пересечения высот треугольника <i>ABC</i>относительно его сторон, лежат на описанной окружности.
а) На стороне<i>AB</i>треугольника<i>ABC</i>взята точка<i>P</i>. Пусть<i>r</i>,<i>r</i><sub>1</sub>и<i>r</i><sub>2</sub> — радиусы вписанных окружностей треугольников<i>ABC</i>,<i>BCP</i>и<i>ACP</i>;<i>h</i> — высота, опущенная из вершины<i>C</i>. Докажите, что<i>r</i>=<i>r</i><sub>1</sub>+<i>r</i><sub>2</sub>- 2<i>r</i><sub>1</sub><i>r</i><sub>2</sub>/<i>h</i>. б) Точки<i>A</i><sub>1</sub>,<i>A</i><sub>2</sub>,<i>A</i><sub>3</sub>,... лежат на одн...
Окружность касается сторон угла с вершиной <i>A</i>в точках <i>P</i>и <i>Q</i>. Расстояния от точек <i>P</i>,<i>Q</i>и <i>A</i>до некоторой касательной к этой окружности равны <i>u</i>,<i>v</i>и <i>w</i>. Докажите, что <i>uv</i>/<i>w</i><sup>2</sup>= sin<sup>2</sup>(<i>A</i>/2).
В неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i>через середину <i>M</i>стороны <i>BC</i>и центр <i>O</i>вписанной окружности проведена прямая <i>MO</i>, пересекающая высоту <i>AH</i>в точке <i>E</i>. Докажите, что <i>AE</i>=<i>r</i>.
Угол величиной $\alpha$=$\angle$<i>BAC</i>вращается вокруг своей вершины <i>O</i> — середины основания <i>AC</i>равнобедренного треугольника <i>ABC</i>. Стороны этого угла пересекают отрезки <i>AB</i>и <i>BC</i>в точках <i>P</i>и <i>Q</i>. Докажите, что периметр треугольника <i>PBQ</i>остается постоянным.
Пусть <i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и <i>C</i><sub>1</sub> — проекции некоторой внутренней точки <i>O</i>треугольника <i>ABC</i>на высоты. Докажите, что если длины отрезков <i>AA</i><sub>1</sub>,<i>BB</i><sub>1</sub>и <i>CC</i><sub>1</sub>равны, то они равны 2<i>r</i>.
Внутри треугольника <i>ABC</i>взята такая точка <i>P</i>, что $\angle$<i>PAB</i>:$\angle$<i>PAC</i>=$\angle$<i>PCA</i>:$\angle$<i>PCB</i>=$\angle$<i>PBC</i>:$\angle$<i>PBA</i>=<i>x</i>. Докажите, что <i>x</i>= 1.
Докажите, что сторона <i>BC</i>треугольника <i>ABC</i>видна из центра <i>O</i>вписанной окружности под углом 90<sup><tt>o</tt></sup>+$\angle$<i>A</i>/2, а из центра <i>O</i><sub>a</sub>вневписанной окружности под углом 90<sup><tt>o</tt></sup>-$\angle$<i>A</i>/2.
Пусть <i>O</i><sub>a</sub>,<i>O</i><sub>b</sub>и <i>O</i><sub>c</sub> — центры вневписанных окружностей треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что точки <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i> — основания высот треугольника <i>O</i><sub>a</sub><i>O</i><sub>b</sub><i>O</i><sub>c</sub>.
На сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и <i>C</i><sub>1</sub>, причем <i>AC</i><sub>1</sub>=<i>AB</i><sub>1</sub>,<i>BA</i><sub>1</sub>=<i>BC</i><sub>1</sub>и <i>CA</i><sub>1</sub>=<i>CB</i><sub>1</sub>. Докажите, что <i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и <i>C</i><sub>1</sub> — точки касания вписанной окружности со сторонами.