Задача
Даны два треугольникаABCиA1B1C1. Перпендикуляры, опущенные из точекA,B,Cна прямыеB1C1,C1A1,A1B1пересекаются в одной точке. Докажите, что тогда перпендикуляры, опущенные из точекA1,B1,C1на прямыеBC,CA,ABтоже пересекаются в одной точке (Штейнер).
Решение
Пусть перпендикуляры, опущенные из точекA,B,Cна прямыеB1C1,C1A1,A1B1пересекаются в точкеP. Проведём через вершины треугольникаABCпрямые, параллельные сторонам треугольникаA1B1C1. В результате получим треугольникA'B'C'. ПустьP'— точка, изогонально сопряжённая точкеPотносительно треугольникаA'B'C'. Согласно задаче 5.104 в) прямые, соединяющие вершины треугольникаA'B'C'с точкойP', перпендикулярны сторонам треугольникаABC. ТреугольникA1B1C1гомотетичен треугольникуA'B'C'; пустьP1— образ точкиP'при соответствующей гомотетии. Тогда прямые, соединяющие вершины треугольникаA1B1C1с точкойP1, перпендикулярны сторонам треугольникаABC, т.е.P1— искомая точка.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь