Олимпиадные задачи из источника «глава 19. Гомотетия и поворотная гомотетия» для 5-11 класса - сложность 5 с решениями

Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на которых лежат его стороны, параллельно перенести на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному, причём параллельные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в данный многоугольник можно вписать окружность.

а) Докажите, что прямые, проходящие через вершины треугольника<i>ABC</i>параллельно сторонам треугольника Брокара<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁(через<i>A</i>проходит прямая, параллельная<i>B</i>₁<i>C</i>₁, и т. п.), пересекаются в одной точке<i>S</i>(<i>точка Штейнера</i>), причем эта точка лежит на описанной окружности треугольника<i>ABC</i>. б) Докажите, что прямая Симсона точки Штейнера параллельна диаметру Брокара.

Докажите, что вершинами треугольника Брокара<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁являются точки пересечения окружности Брокара с прямыми, проходящими через точку Лемуана параллельно сторонам треугольника<i>ABC</i>.

Пусть <i>O</i> — центр описанной окружности треугольника<i>ABC</i>,<i>K</i> — точка Лемуана,<i>P</i>и <i>Q</i> — точки Брокара,$\varphi$ — угол Брокара. Докажите, что точки <i>P</i>и <i>Q</i>лежат на окружности с диаметром<i>KO</i>, причем<i>OP</i>=<i>OQ</i>и $\angle$<i>POQ</i>= 2$\varphi$.

Докажите, что окружностью подобия треугольника<i>ABC</i>является окружность с диаметром<i>KO</i>, где <i>K</i> — точка Лемуана,<i>O</i> — центр описанной окружности.

Докажите, что постоянные точки трех подобных фигур являются их соответственными точками.

Докажите, что постоянный треугольник трех подобных фигур подобен треугольнику, образованному их соответственными прямыми, причем эти треугольники противоположно ориентированы.

Пусть <i>l</i>₁,<i>l</i>₂и <i>l</i>₃ — соответственные прямые подобных фигур <i>F</i>₁,<i>F</i>₂и <i>F</i>₃, пересекающиеся в точке <i>W</i>. а) Докажите, что точка <i>W</i>лежит на окружности подобия фигур <i>F</i>₁,<i>F</i>₂и <i>F</i>₃. б) Пусть <i>J</i>₁,<i>J</i>₂и <i>J</i>₃ — точки пересечения прямых <i>l</i>₁,<i...

Пусть<i>A</i>₁<i>B</i>₁,<i>A</i>₂<i>B</i>₂и <i>A</i>₃<i>B</i>₃, а также<i>A</i>₁<i>C</i>₁,<i>A</i>₂<i>C</i>₂и <i>A</i>₃<i>C</i>₃ — соответственные отрезки подобных фигур <i>F</i>₁,<i>F</i>₂и <i>F</i>₃. Докажите, что треугольник, образованный прямыми<i>A</i><su...

На сторонах<i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника<i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁так, что$\triangle$<i>ABC</i>$\sim$$\triangle$<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁. Пары отрезков<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁,<i>CC</i>₁и <i>AA</i>₁,<i>AA</i>₁и <i>BB</i>₁пересекаются в точках <i>A</i><sub>2</...