Олимпиадные задачи из источника «глава 19. Гомотетия и поворотная гомотетия» для 3-11 класса - сложность 2 с решениями

Пусть<i>H</i>₁и<i>H</i>₂— две поворотные гомотетии. Докажите, что<i>H</i>₁<tt>o</tt><i>H</i>₂=<i>H</i>₂<tt>o</tt><i>H</i>₁тогда и только тогда, когда<i>H</i>₁<tt>o</tt><i>H</i>₂(<i>A</i>) =<i>H</i>₂<tt>o</tt><i>H</i>₁(<i>A</i>) для некоторой точки<i>A</i>.

Пусть<i>H</i>₁и<i>H</i>₂— две поворотные гомотетии. Докажите, что<i>H</i>₁<tt>o</tt><i>H</i>₂=<i>H</i>₂<tt>o</tt><i>H</i>₁тогда и только тогда, когда центры этих поворотных гомотетий совпадают.

Постройте центр <i>O</i>поворотной гомотетии с данным коэффициентом<i>k</i>$\ne$1, переводящей прямую <i>l</i>₁в прямую <i>l</i>₂, а точку <i>A</i>₁лежащую на <i>l</i>₁, — в точку <i>A</i>₂.

а) Пусть <i>P</i> — точка пересечения прямых<i>AB</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁. Докажите, что если среди точек <i>A</i>,<i>B</i>,<i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>P</i>нет совпадающих, то общая точка описанных окружностей треугольников<i>PAA</i>₁и <i>PBB</i>₁является центром поворотной гомотетии, переводящей точку <i>A</i>в <i>A</i>₁, а точку <i>B</i>в <i>B</i>₁, причем такая поворотная гомотетия единственна. б) Докажите, что центром поворотной го...

Окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂пересекаются в точках <i>A</i>и <i>B</i>. При поворотной гомотетии <i>P</i>с центром <i>A</i>, переводящей <i>S</i>₁в <i>S</i>₂, точка <i>M</i>₁окружности <i>S</i>₁переходит в <i>M</i>₂. Докажите, что прямая<i>M</i>₁<i>M</i>₂проходит через точку <i>B</i>.

Окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂пересекаются в точках <i>A</i>и <i>B</i>. Прямые <i>p</i>и <i>q</i>, проходящие через точку <i>A</i>, пересекают окружность <i>S</i>₁в точках <i>P</i>₁и <i>Q</i>₁, а окружность <i>S</i>₂ — в точках <i>P</i>₂и <i>Q</i>₂. Докажите, что угол между прямыми<i>P</i>₁<i>Q</i>₁и <i>P</i>₂<i>Q</i><sub>2</sub&gt...

Докажите, что композиция двух гомотетий с коэффициентами <i>k</i>₁и <i>k</i>₂, где<i>k</i>₁<i>k</i>₂$\ne$1, является гомотетией с коэффициентом<i>k</i>₁<i>k</i>₂, причем ее центр лежит на прямой, соединяющей центры этих гомотетий. Исследуйте случай<i>k</i>₁<i>k</i>₂= 1.

Преобразование <i>f</i>обладает следующим свойством: если <i>A'</i>и <i>B'</i> — образы точек <i>A</i>и <i>B</i>, то<img width="38" height="19" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/58001/problem_58001_img_2.gif" alt="$ \overrightarrow{A'B'}$">=<i>k</i>$\overrightarrow{AB}$, где <i>k</i> — постоянное число. Докажите, что: а) если<i>k</i>= 1, то преобразование <i>f</i>является параллельным переносом; б) если<i>k</i>$\ne$1, то преобразование <i>f</i>является гомотетией.

Постройте на стороне<i>BC</i>данного треугольника<i>ABC</i>такую точку, что прямая, соединяющая основания перпендикуляров, опущенных из этой точки на стороны<i>AB</i>и <i>AC</i>, параллельна <i>BC</i>.

Решите задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/157855">16.18</a>с помощью гомотетии.

Дан остроугольный треугольник<i>ABC</i>. Постройте точки <i>X</i>и <i>Y</i>на сторонах<i>AB</i>и <i>BC</i>так, что a) <i>AX</i>=<i>XY</i>=<i>YC</i>; б) <i>BX</i>=<i>XY</i>=<i>YC</i>.

Даны угол<i>ABC</i>и точка <i>M</i>внутри его. Постройте окружность, касающуюся сторон угла и проходящую через точку <i>M</i>.

Медианы<i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁треугольника<i>ABC</i>пересекаются в точке <i>M</i>;<i>P</i> — произвольная точка. Прямая <i>l</i>_aпроходит через точку <i>A</i>параллельно прямой<i>PA</i>₁; прямые <i>l</i>_bи <i>l</i>_cопределяются аналогично. Докажите, что: а) прямые <i>l</i>_a,<i>l</i>_bи <i>l</i>_cпересекаются в одной точке <i>Q</i>; б) точка <i>M</i>лежит на отрезке&lt...

В трапеции точка пересечения диагоналей равноудалена от прямых, на которых лежат боковые стороны. Докажите, что трапеция равнобедренная.

Четырёхугольник разрезан диагоналями на четыре треугольника. Докажите, что точки пересечения медиан этих треугольников образуют параллелограмм.