Задача
На окружности радиуса 1 с центром Oдано 2n+ 1 точекP1,...,P2n + 1, лежащих по одну сторону от некоторого диаметра. Докажите, что|$\overrightarrow{OP}{1}^{}$+...+$\overrightarrow{OP}{2n+1}^{}$|$\ge$1.
Решение
Докажем это утверждение по индукции. Дляn= 0 утверждение, очевидно, верно. Допустим, что утверждение доказано для 2n+ 1 векторов. Рассмотрим в системе из 2n+ 3 векторов два крайних вектора (т. е. два вектора, угол между которыми максимален). Для определенности будем считать, что это — векторы$\overrightarrow{OP_1}$и $\overrightarrow{OP_{2n+3}}$. По предположению индукции длина вектора$\overrightarrow{OR}$=$\overrightarrow{OP_2}$+...+$\overrightarrow{OP_{2n+2}}$не меньше 1. Вектор$\overrightarrow{OR}$лежит внутри углаP1OP2n + 3, поэтому он образует острый угол с вектором$\overrightarrow{OS}$=$\overrightarrow{OP_1}$+$\overrightarrow{OP_{2n+3}}$. Следовательно,|$\overrightarrow{OS}$+$\overrightarrow{OR}$|$\ge$OR$\ge$1.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь