Олимпиадные задачи из источника «глава 13. Векторы» для 2-8 класса

В выпуклом пятиугольнике<i>ABCDE</i>, площадь которого равна <i>S</i>, площади треугольников<i>ABC</i>,<i>BCD</i>,<i>CDE</i>,<i>DEA</i>и <i>EAB</i>равны <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>и <i>e</i>. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>S</i>² - <i>S</i>(<i>a</i> + <i>b</i> + <i>c</i> + <i>d</i> + <i>e</i>) + <i>ab</i> + <i>bc</i> + <i>cd</i> + <i>de</i> + <i>ea</i> = 0. </div>

Пусть <i>H</i>₁,<i>H</i>₂и <i>H</i>₃ — ортоцентры треугольников<i>A</i>₂<i>A</i>₃<i>A</i>₄,<i>A</i>₁<i>A</i>₃<i>A</i>₄и <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₄. Докажите, что площади треугольников<i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃и <i>H</i>₁<i>H</i&g...

Дан треугольник<i>ABC</i>и точка <i>P</i>. Точка <i>Q</i>такова, что<i>CQ</i>||<i>AP</i>, а точка <i>R</i>такова, что<i>AR</i>||<i>BQ</i>и <i>CR</i>||<i>BP</i>. Докажите, что<i>S</i>_ABC=<i>S</i>_PQR.

Точки <i>P</i>₁,<i>P</i>₂и <i>P</i>₃, не лежащие на одной прямой, расположены внутри выпуклого 2<i>n</i>-угольника<i>A</i>₁...<i>A</i>_2n. Докажите, что если сумма площадей треугольников<i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>P</i>_i,<i>A</i>₃<i>A</i>₄<i>P</i>_i,...,<i>A</i>_{2n - 1}<i>A</i>_2n<i>P</i>_iравна одному и тому...

Решите с помощью псевдоскалярного произведения задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/156779">4.29</a>, б.

По трем прямолинейным дорогам с постоянными скоростями идут три пешехода. В начальный момент времени они не находились на одной прямой. Докажите, что они могут оказаться на одной прямой не более двух раз.

Три бегуна <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>бегут по параллельным дорожкам с постоянными скоростями. В начальный момент площадь треугольника<i>ABC</i>равна 2, через 5 с равна 3. Чему может быть она равна еще через 5 с?

а) Докажите, что<i>S</i>(<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>) = -<i>S</i>(<i>B</i>,<i>A</i>,<i>C</i>) =<i>S</i>(<i>B</i>,<i>C</i>,<i>A</i>). б) Докажите, что для любых точек <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i>справедливо равенство<i>S</i>(<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>) =<i>S</i>(<i>D</i>,<i>A</i>,<i>B</i>) +<i>S</i>(<i>D</i>,<i>B</i>,<i>C</i>) +<i>S</i>(<i>D</i>,<i>C</i>,<i>A</i>).

Пусть<b>a</b>= (<i>a</i>₁,<i>a</i>₂) и <b>b</b>= (<i>b</i>₁,<i>b</i>₂). Докажите, что<b>a</b>$\vee$<b>b</b>=<i>a</i>₁<i>b</i>₂-<i>a</i>₂<i>b</i>₁.

Докажите, что: а)($\lambda$<b>a</b>)$\vee$<b>b</b>=$\lambda$(<b>a</b>$\vee$<b>b</b>); б)<b>a</b>$\vee$(<b>b</b>+<b>c</b>) =<b>a</b>$\vee$<b>b</b>+<b>a</b>$\vee$<b>c</b>.

Внутри треугольника<i>ABC</i>взята точка <i>O</i>. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>S</i>_BOC^.$\displaystyle \overrightarrow{OA}$ + <i>S</i>_AOC^.$\displaystyle \overrightarrow{OB}$ + <i>S</i>_AOB^.$\displaystyle \overrightarrow{OC}$ = $\displaystyle \overrightarrow{0}$. </div>

Дано <i>n</i>попарно не сонаправленных векторов (<i>n</i>$\ge$3), сумма которых равна нулю. Докажите, что существует выпуклый<i>n</i>-угольник, набор векторов сторон которого совпадает с данным набором векторов.

Пусть <i>E</i>и <i>F</i> — середины сторон<i>AB</i>и <i>CD</i>четырехугольника<i>ABCD</i>,<i>K</i>,<i>L</i>,<i>M</i>и <i>N</i> — середины отрезков<i>AF</i>,<i>CE</i>,<i>BF</i>и <i>DE</i>. Докажите, что<i>KLMN</i> — параллелограмм.

Сумма четырех единичных векторов равна нулю. Докажите, что их можно разбить на две пары противоположных векторов.

Стороны треугольника <i>T</i>параллельны медианам треугольника <i>T</i>₁. Докажите, что медианы треугольника <i>T</i>параллельны сторонам треугольника <i>T</i>₁.

а) Докажите, что из медиан треугольника можно составить треугольник. б) Из медиан треугольника<i>ABC</i>составлен треугольник<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁, а из медиан треугольника<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁составлен треугольник<i>A</i>₂<i>B</i>₂<i>C</i>₂. Докажите, что треугольники<i>ABC</i>и <i>A</i>₂<i>B</i>₂<i>C</i>₂подобны, причем коэффициент подобия...