Олимпиадные задачи из источника «глава 11. Задачи на максимум и минимум» для 10 класса - сложность 1-4 с решениями
Дан угол<i>XAY</i>и точка <i>O</i>внутри его. Проведите через точку <i>O</i>прямую, отсекающую от данного угла треугольник наименьшей площади.
Из точки <i>M</i>, лежащей внутри данного треугольника <i>ABC</i>, опущены перпендикуляры <i>MA</i><sub>1</sub>, <i>MB</i><sub>1</sub>, <i>MC</i><sub>1</sub> на прямые <i>BC, CA, AB</i>. Для каких точек <i>M</i> внутри данного треугольника <i>ABC</i> величина <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/57540/problem_57540_img_2.gif"> принимает наименьшее значение?
Внутри треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>O</i>. Пусть <i>d<sub>a</sub>, d<sub>b</sub>, d<sub>c</sub></i> – расстояния от нее до прямых <i>BC, CA, AB</i>.
При каком положении точки <i>O</i> произведение <i>d<sub>a</sub>d<sub>b</sub>d<sub>c</sub></i> будет наибольшим?
Из точки <i>M</i>описанной окружности треугольника<i>ABC</i>опущены перпендикуляры<i>MP</i>и<i>MQ</i>на прямые<i>AB</i>и<i>AC</i>. При каком положении точки <i>M</i>длина отрезка<i>PQ</i>максимальна?
Дан треугольник<i>ABC</i>. Найдите на прямой<i>AB</i>точку <i>M</i>, для которой сумма радиусов описанных окружностей треугольников<i>ACM</i>и<i>BCM</i>была бы наименьшей.
Дан треугольник со сторонами <i>a, b</i> и <i>c</i>, причём <i>a ≥ b ≥ c</i>; <i>x, y</i> и <i>z</i> – углы некоторого другого треугольника. Докажите, что <div align="CENTER"><i>bc + ca – ab < bc</i> cos <i>x + ca</i> cos <i>y + ab</i> cos <i>z</i> ≤ ½ (<i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>²). </div>
Пусть <i>a, b</i> и <i>c</i> – длины сторон треугольника площади <i>S</i>; α<sub>1</sub>, β<sub>1</sub> и γ<sub>1</sub> – углы некоторого другого треугольника. Докажите, что
<i>a</i>² ctg α<sub>1</sub> + <i>b</i>² ctg β<sub>1</sub> + <i>c</i>² ctg γ<sub>1</sub> ≥ 4<i>S</i>, причём равенство достигается, только когда рассматриваемые треугольники подобны.
Какую наименьшую ширину должна иметь бесконечная полоса бумаги, из которой можно вырезать любой треугольник площадью 1?
Среди всех треугольников, вписанных в данную окружность, найдите тот, у которого максимальна сумма квадратов длин сторон.