Олимпиадные задачи из источника «глава 12. Уравнения в целых числах»

<i>a</i> – фиксированное натуральное число. Доказать, что уравнение  <i>x</i>! = <i>y</i>² + <i>a</i>²  имеет лишь конечное число решений в натуральных числах.

Разложить на множители выражение $x^3 + y^3 + z^3 - 3 x y z$.

Решить в натуральных числах систему

  <i>a</i>² + <i>b – c</i> = 100,

  <i>a + b</i>² – <i>c</i> = 124.

Решить в целых числах уравнение  5<i>x</i>³ + 11<i>y</i>³ + 13<i>z</i>³ = 0.

Решить в натуральных числах уравнение  1 + <i>x</i> + <i>x</i>² + <i>x</i>³ = 2<i>^y</i>.

Решить в натуральных числах уравнение  3^<i>n</i> + 55 = <i>m</i>².

Решить в простых числах уравнение  <i>pqr</i> = 7(<i>p + q + r</i>).

Найти наименьшее значение выражения  |36^<i>k</i> – 5^<i>l</i>|  (<i>k, l</i> – натуральные числа).

Решить в целых числах:  <i>a</i>² + <i>b</i>² = 3(<i>c</i>² + <i>d</i>²).

Найти все натуральные <i>n</i>, для которых  2^<i>n</i> + 33  – точный квадрат.

Доказать, что  3^{2^<i>n</i>} – 1   a) делится на 2^<i>n</i>+2;   б) не делится на 2^<i>n</i>+3.

Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде  <i>n</i>² + <i>p</i>  (<i>p</i> – простое).

a) Решить в целых числах уравнение  ¹/_<i>a</i>+¹/_<i>b</i>+¹/_<i>c</i>= 1. б)  ¹/_<i>a</i>+¹/_<i>b</i>+¹/_<i>c</i>< 1  (<i>a, b, c</i>– натуральные числа). Доказать, что  ¹/_<i>a</i>+¹/_<i>b</i>+¹/_<i>c</i><⁴¹/₄₂.

Есть 100 купюр двух типов: по <i>a</i> и <i>b</i> рублей, причём  <i>a ≠ b</i> (mod 101).

Доказать, что можно выбрать несколько купюр так, что полученная сумма (в рублях) делится на 101.

Найти все прямоугольники с натуральными сторонами, у которых периметр равен площади.

Решить в целых числах:  ¹/_<i>a</i> + ¹/_<i>b</i> = ¹/_<i>c</i>,  <i>b</i> и <i>c</i> – простые.

Решить в целых числах уравнение  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = 2<i>xyz</i>.

Решить в целых числах уравнение  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = 4(<i>xy + yz + zx</i>).

Доказать, что число  53·83·109 + 40·66·96  – составное.

Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде

  a)  <i>x</i>² + <i>y</i>²;   б)  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>²  ; в)  <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³.

Доказать, что уравнение  4^<i>k</i>– 4^<i>l</i>= 10^<i>n</i>  не имеет решений в целых числах.

Доказать, что уравнение  <i>x</i>² + 1990 = <i>y</i>²  не имеет решений в целых числах.

Доказать, что произведение шести последовательных натуральных чисел не может быть равно 776965920.

Найти все такие натуральные числа <i>p</i>, что <i>p</i> и  2<i>p</i>² + 1  – простые.

Найти все такие натуральные числа <i>p</i>, что <i>p</i> и  3<i>p</i>² + 1  – простые.