Уравнение однородно: если  (x₀, y₀, z₀)  – решение, то  (tx₀, ty₀, tz₀)  – тоже решение (t – произвольное целое число). Поэтому достаточно найти ненулевые решения, в которых неизвестные взаимно просты в совокупности, а остальные решения получатся из них домножением на t. Но таких решений уравнение не имеет. Действительно, правая часть чётна (даже кратна 4), поэтому в левой части должно быть чётное число нечётных слагаемых. Но они должны быть (иначе все неизвестные чётны, а мы рассматриваем случай без общих делителей). Поэтому нечётных неизвестных ровно 2. Но сумма двух нечётных и одного чётного квадратов не делится на 4.

  Следовательно, уравнение не имеет ненулевых решений.

(0, 0, 0).