Как и в задаче 131291, уравнение однородно, поэтому достаточно найти ненулевые решения, в которых неизвестные взаимно просты в совокупности.

  Пусть такое решение есть, тогда не все неизвестные кратны 3. Но правая часть, а значит, и левая часть делится на 3. А сумма двух квадратов кратна 3 только, если оба слагаемых кратны 3 (см. задачу 208744). Подставим  x = 3u,  y = 3v  и сократим на 3:  3(u² + v²) = z² + w².  Теперь в правой части сумма двух квадратов кратна 3, значит, оба они кратны 3. Противоречие.

(0, 0, 0, 0).