Олимпиадные задачи из источника «Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки» для 6-7 класса - сложность 1-2 с решениями

Мальчик Стёпа говорит: позавчера мне было 10 лет, а в следующем году мне исполнится 13. Может ли такое быть?

Сколькими способами можно расставить чёрную и белую ладьи на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?

На прямой сидят три кузнечика, каждую секунду прыгает один кузнечик. Он прыгает через какого-нибудь кузнечика (но не через двух сразу).

Докажите, что через 1985 секунд они не могут вернуться в исходное положение.

Как при помощи чашечных весов без гирь разделить 24 кг гвоздей на две части  — 9 и 15 кг?

Отличник Поликарп купил общую тетрадь объёмом 96 листов и пронумеровал все её страницы по порядку числами от 1 до 192. Двоечник Колька вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. В ответе у Кольки получилось 2002. Не ошибся ли он?

Из шахматной доски вырезали две клетки – a1 и h8. Можно ли оставшуюся часть доски покрыть 31 косточкой домино так, чтобы каждая косточка покрывала ровно две клетки доски?

Докажите, что   ½ – ⅓ + ¼ – ⅕ + ... + ¹/₉₈ – ¹/₉₉ + ¹/₁₀₀ > ⅕.

В узлах клетчатой плоскости отмечено пять точек. Доказать, что есть две из них, середина отрезка между которыми тоже попадает в узел.

Доказать, что никакая степень числа 2 не оканчивается четырьмя одинаковыми цифрами.

<i>a, b, c</i> – такие три числа, что  <i>a + b + c</i> = 0.  Доказать, что в этом случае справедливо соотношение  <i>ab + ac + bc</i> ≤ 0.

Назовём натуральное число "симпатичным", если в его записи встречаются только нечётные цифры.

Сколько существует четырёхзначных "симпатичных" чисел?

Сколько существует девятизначных чисел, сумма цифр которых чётна?

Сколько существует десятизначных чисел, в записи которых имеется хотя бы две одинаковые цифры?

Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна чётная цифра?

Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из трёх букв. Словом является любая последовательность, состоящая не более чем из четырёх букв.

Сколько слов в языке племени Мумбо-Юмбо?

  а) В Стране Чудес есть три города <i>A</i>, <i>B</i> и <i>C</i>. Из города <i>A</i> в город <i>B</i> ведет 6 дорог, а из города <i>B</i> в город <i>C</i> – 4 дороги.

Сколькими cпособами можно проехать от <i>A</i> до <i>C</i>?

  б) В Стране Чудес построили еще один город <i>D</i> и несколько новых дорог – две из <i>A</i> в <i>D</i> и две из <i>D</i> в <i>C</i>.

Сколькими способами можно теперь добраться из города <i>A</i> в город <i>C</i>?

На столе стоят семь стаканов – все вверх дном. За один ход можно перевернуть любые четыре стакана.

Можно ли за несколько ходов добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно?

Можно ли так расставить знаки "+" или "–" между каждыми двумя соседними цифрами числа 123456789, чтобы полученное выражение равнялось нулю?

В таблице 25×25 расставлены целые числа так, что в каждом столбце и в каждой строчке встречаются все числа от 1 до 25. При этом таблица симметрична относительно главной диагонали. Доказать, что на главной диагонали все числа от 1 до 25 встречаются по одному разу.

Докажите, что три неравенства  <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/30927/problem_30927_img_2.gif">  не могут быть все верны одновременно, если числа<i>a</i>₁,<i>a</i>₂,<i>a</i>₃,<i>b</i>₁,<i>b</i>₂,<i>b</i>₃положительны.

<i>x, y</i> > 0.  Через <i>S</i> обозначим наименьшее из чисел <i>x</i>, ¹/_<i>y</i>,  <i>y</i> + ¹/_<i>x</i>.  Какое максимальное значение может принимать величина <i>S</i>?

Докажите, что для любого <i>x</i> выполнено неравенство  <i>x</i>⁴ – <i>x</i>³ + 3<i>x</i>² – 2<i>x</i> + 2 ≥ 0.

Докажите, что   <img width="348" height="56" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30922/problem_30922_img_2.gif">

<i>x, y, z</i>   положительные числа. Докажите неравенство   <img width="202" height="45" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30921/problem_30921_img_2.gif">

<i>a, b, c</i> – натуральные числа и &nbsp¹/_<i>a</i> + 1/_<i>b</i> + 1/_<i>c</i> < 1.  Докажите, что &nbsp¹/_<i>a</i> + 1/_<i>b</i> + 1/_<i>c</i> ≤ ⁴¹/₄₂.