Олимпиадные задачи из источника «Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел» для 11 класса - сложность 4 с решениями
Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел
НазадЧисла 1, 2, 3, ..., 101 выписаны в ряд в каком-то порядке.
Докажите, что из них можно вычеркнуть 90 так, что оставшиеся 11 будут расположены по их величине (либо возрастая, либо убывая).
Пусть <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61519/problem_61519_img_2.gif"> – производящая функция последовательности <i>чисел Каталана</i>. Докажите, что она удовлетворяет равенству <div align="CENTER"><i>C</i>(<i>x</i>) = <i>xC</i>²(<i>x</i>) + 1, </div>и получите явный вид функции<i>C</i>(<i>x</i>). Определение чисел Каталана можно найти в<a href="https://problems.ru/thes.php?letter=23#chisla_catalana">справочнике</a>.
Найдите общую формулу для коэффициентов ряда<div align="CENTER"> (1 - 4<i>x</i>)<sup>- $\scriptstyle {\textstyle\frac{1}{2}}$</sup> = 1 + 2<i>x</i> + 6<i>x</i><sup>2</sup> + 20<i>x</i><sup>3</sup> +...+ <i>a</i><sub>n</sub><i>x</i><sup>n</sup> +... </div>
Как будет выглядеть формула <i>n</i>-го члена для рекуррентной последовательности <i>k</i>-го порядка, если
a) характеристическое уравнение имеет простые корни <i>x</i><sub>1</sub>,..., <i>x<sub>k</sub></i>, отличные от нуля;
б) характеристическое уравнение имеет отличные от нуля корни <i>x</i><sub>1</sub>, ..., <i>x<sub>m</sub></i> с кратностями α<sub>1</sub>, ..., α<i><sub>m</sub></i> соответственно?
Определения, связанные с рекуррентными последовательностями, смотри в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=15#linejnaja_recurrentnaja">справочнике</a>.
Докажите, что при всех натуральных<i>n</i>выполняется сравнение[(1 +$\sqrt{2}$)<sup>n</sup>]$\equiv$<i>n</i>(mod 2).
а) Пусть <i>q</i> – натуральное число и функция <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>cq<sup>x</sup></i> + <i>a<sub>n</sub>x<sup>n</sup></i> + ... + <i>a</i><sub>1</sub><i>x</i> + <i>a</i><sub>0</sub> принимает целые значения при <i>x</i> = 0, 1, 2, ..., <i>n</i> + 1.
Докажите, что при любом натуральном <i>x</i> число <i>f</i>(<i>x</i>) также будет целым.
б) Пусть выполняются условия пункта а) и <i>f</i>(<i>x</i>) делится на некоторое целое <i>m</i> ≥ 1 при <i>x</i> = 0, 1, 2, ..., <i>n</i> + 1. Докажите, что &l...
Пусть α = (α<sub>1</sub>, ..., α<sub><i>n</i></sub>) и β = (β<sub>1</sub>, ..., β<sub><i>n</i></sub>) – два набора показателей с равной суммой.
Докажите, что, если α ≠ β, то при всех неотрицательных <i>x</i><sub>1</sub>, ..., <i>x<sub>n</sub></i> выполняется неравенство <i>T</i><sub>α</sub>(<i>x</i><sub>1</sub>, ..., <i>x<sub>n</sub></i>) ≥ <i>T</i><sub>β</sub>(<i>x</i><sub>1</sub>, ..., <i>x<sub>n</sub></i>).
Определение многочленов <i>T</i><sub>α</sub> смотри в задаче <a href="https://...
Докажите, что если α < 0 < β, то <i>S</i><sub>α</sub>(<b><i>x</i></b>) ≤ <i>S</i><sub>0</sub>(<b><i>x</i></b>) ≤ <i>S</i><sub>β</sub>(<b><i>x</i></b>), причём <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61414/problem_61414_img_2.gif">
Определение средних степенных <i>S</i><sub>α</sub>(<b><i>x</i></b>) можно посмотреть в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=17#srednee_stepennoe">справочнике</a>.
Докажите, что если α < β и αβ ≠ 0, то <i>S</i><sub>α</sub>(<b><i>x</i></b>) ≤ <i>S</i><sub>β</sub>(<b><i>x</i></b>).
Определение средних степенных <i>S</i><sub>α</sub>(<b><i>x</i></b>) можно посмотреть в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=17#srednee_stepennoe">справочнике</a>.
Имеются 13 гирь. Известно, что любые 12 из них можно так разложить на две чашки весов, по шесть на каждую, что наступит равновесие.
Докажите, что все гири имеют одну и ту же массу, если известно, что:
а) масса каждой гири равна целому числу граммов;
б) масса каждой гири равна рациональному числу граммов;
в) масса каждой гири может быть равна любому действительному (неотрицательному) числу.
Тройки чисел(<i>x</i><sub>n</sub>,<i>y</i><sub>n</sub>,<i>z</i><sub>n</sub>)(<i>n</i>$\geqslant$1) строятся по правилу:<i>x</i><sub>1</sub>= 2,<i>y</i><sub>1</sub>= 4,<i>z</i><sub>1</sub>= 6/7,<div align="CENTER"> <i>x</i><sub>n + 1</sub> = $\displaystyle {\frac{2x_n}{x_n^2-1}}$, <i>y</i><sub>n + 1</sub> = $\displaystyle {\frac{2y_n}{y_n^2-1}}$, <i>z</i><sub>n + 1</sub> = $\displaystyle {\frac{2z_n}{z_n^2-1}}$, (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 1). </div> а) Докажите, что указанный процесс построения троек может быть неог...
Последовательность чисел<i>a</i><sub>1</sub>,<i>a</i><sub>2</sub>,<i>a</i><sub>3</sub>,...задается условиями<div align="CENTER"> <i>a</i><sub>1</sub> = 1, <i>a</i><sub>n + 1</sub> = <i>a</i><sub>n</sub> + $\displaystyle {\dfrac{1}{a_n^2}}$ (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 0). </div>Докажите, что а) эта последовательность неограничена; б)<i>a</i><sub>9000</sub>> 30; в) найдите предел$\lim\limits_{n\to\infty}^{}$${\dfrac{a_n}{\sqrt[3]n}}$.
Докажите равенство<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{2}{\pi}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}}$<sup> . </sup>$\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}$<sup> . </sup>$\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}}$... </div>
Предположим, что цепные дроби <img width="400" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61331/problem_61331_img_2.gif"> сходятся. Согласно задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161330">161330</a>, они будут сходиться к корням многочлена <i>x</i>² – <i>px + q</i> = 0. С другой стороны к тем же корням будут сходиться и последовательности, построенные по методу Ньютона (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161328">161328</a>): <i>x</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <i>x<sub>n</sub></i> – <img width="98" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/sto...
Найдите с точностью до 0,01 сотый член<i>x</i><sub>100</sub>последовательности {<i>x</i><sub>n</sub>}, если а)<i>x</i><sub>1</sub>$\in$[0; 1],<i>x</i><sub>n + 1</sub>=<i>x</i><sub>n</sub>(1 -<i>x</i><sub>n</sub>), (<i>n</i>> 1); б)<i>x</i><sub>1</sub>$\in$[0, 1; 0, 9],<i>x</i><sub>n + 1</sub>= 2<i>x</i><sub>n</sub>(1 -<i>x</i><sub>n</sub>), (<i>n</i>> 1).
С какой гарантированной точностью вычисляется$\sqrt{k}$при помощи алгоритма задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161299">9.48</a>после пяти шагов?
Докажите, что для чисел {<i>x<sub>n</sub></i>} из задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161297">161297</a> можно в явном виде указать разложения в цепные дроби: <i>x</i><sub><i>n</i>+1</sub> = [1;<img width="61" height="62" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61316/problem_61316_img_2.gif">].
Оцените разность |<i>x<sub>n</sub></i> – <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61316/problem_61316_img_3.gif">|.
Получите формулу для корня уравнения <i>x</i>³ + <i>px + q</i> = 0:
<i>x</i> = <img width="138" height="75" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61262/problem_61262_img_2.gif"> + <img width="138" height="75" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61262/problem_61262_img_3.gif">.
Пусть числа<i>u</i><sub>k</sub>определены как и в предыдущей задаче. Докажите тождества: а)1 -<i>u</i><sub>1</sub>+<i>u</i><sub>2</sub>-<i>u</i><sub>3</sub>+...+<i>u</i><sub>2n</sub>= 2<sup>n</sup>(1 - cos <i>x</i>)(1 - cos 3<i>x</i>)...(1 - cos(2<i>n</i>- 1)<i>x</i>); б)1 -<i>u</i><sub>1</sub><sup>2</sup>+<i>u</i><sub>2</sub><sup>2</sup>-<i>u</i><sub>3</sub><sup>2</sup>+...+<i>u</i><sub>2n</sub><sup>2</sup>= (- 1)<sup>n</sup>${\dfrac{\sin(2n+2)x\cdot \sin(2n+...
<b>Формулы Рамануджана.</b>Докажите следующие тождества: а)$\sqrt[3]{\cos\dfrac{2\pi}{7}}$+$\sqrt[3]{\cos\dfrac{4\pi}{7}}$+$\sqrt[3]{\cos\dfrac{8\pi}{7}}$=$\sqrt[3]{\dfrac{5-3\sqrt[3]7}{2}}$; б)$\sqrt[3]{\cos\dfrac{2\pi}{9}}$+$\sqrt[3]{\cos\dfrac{4\pi}{9}}$+$\sqrt[3]{\cos\dfrac{8\pi}{9}}$=$\sqrt[3]{\dfrac{3\sqrt[3]9-6}{2}}$.
Упростите выражения: а)sin${\dfrac{\pi}{2n+1}}$sin${\dfrac{2\pi}{2n+1}}$sin${\dfrac{3\pi}{2n+1}}$...sin${\dfrac{n\pi}{2n+1}}$; б)sin${\dfrac{\pi}{2n}}$sin${\dfrac{2\pi}{2n}}$sin${\dfrac{3\pi}{2n}}$...sin${\dfrac{(n-1)\pi}{2n}}$; в)cos${\dfrac{\pi}{2n+1}}$cos${\dfrac{2\pi}{2n+1}}$cos${\dfrac{3\pi}{2n+1}}$...cos${\dfrac{n\pi}{2n+1}}$; г)cos${\dfrac{\pi}{2n}}$cos${\dfrac{2\pi}{2n}}$cos${\dfrac{3\pi}{2n}}$...cos${\dfrac{(n-1)\pi}{2n}}$.
а) Докажите, что при нечётном <i>n</i> > 1 справедливо равенство: <img width="31" height="76" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61146/problem_61146_img_2.gif"><img width="29" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61146/problem_61146_img_3.gif"> = <img width="25" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61146/problem_61146_img_4.gif"> – <img width="26" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61146/problem_61146_img_5.gif">θ (0 < θ < 1).
б) Докаж...
Решите систему <img width="20" height="127" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61064/problem_61064_img_2.gif"><img width="318" height="127" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61064/problem_61064_img_3.gif"> (<i>a</i><sub>1</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>, <i>b</i><sub>1</sub>, ..., <i>b<sub>n</sub></i> – различные числа.)
Докажите, что количество положительных корней многочлена <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>a<sub>n</sub>x<sup>n</sup> + ... + a</i><sub>1</sub><i>x + a</i><sub>0</sub> не превосходит числа перемен знака в последовательности <i>a<sub>n</sub>, ..., a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>0</sub>.
<b>13 монет.</b>Предположим теперь, что имеется 13 монет, из которых одна — фальшивая. Как за три взвешивания на двухчашечных весах без гирь найти фальшивую монету, если не требуется выяснять, легче она или тяжелее настоящей?