Олимпиадные задачи из источника «глава 9. Уравнения и системы» для 10 класса

Дано 100 чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ..., <i>a</i>₁₀₀, удовлетворяющих условиям:

  <i>a</i>₁ – 4<i>a</i>₂ + 3<i>a</i>₃ ≥ 0,

  <i>a</i>₂ – 4<i>a</i>₃ + 3<i>a</i>₄ ≥ 0,

  <i>a</i>₃ – 4<i>a</i>₄ + 3<i>a</i>₅ ≥ 0,

    ...,

  <i>a</i>₉₉ – 4<i>a</i>₁₀₀ +...

Имеются 13 гирь. Известно, что любые 12 из них можно так разложить на две чашки весов, по шесть на каждую, что наступит равновесие.

Докажите, что все гири имеют одну и ту же массу, если известно, что:

  а) масса каждой гири равна целому числу граммов;

  б) масса каждой гири равна рациональному числу граммов;

  в) масса каждой гири может быть равна любому действительному (неотрицательному) числу.

Решите системы уравнений: а)   <i>x</i>₁ + <i>x</i>₂ + <i>x</i>₃ = 0,

      <i>x</i>₂ + <i>x</i>₃ + <i>x</i>₄ = 0,

&nbsp     ...

      <i>x</i>₉₉ + <i>x</i>₁₀₀ + <i>x</i>₁ = 0,

      <i>x</i>₁₀₀ + <i>x</i>₁ + <i>x</i>₂ = 0; б)   <i>x + y + z = a</i>,

      <i>y + z + t = b</i>,

      <i>y + z + t = c</i>,

      <...

Исследуйте системы уравнений: а) <img width="20" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61348/problem_61348_img_2.gif"><img width="129" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61348/problem_61348_img_3.gif"> б) <img width="20" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61348/problem_61348_img_2.gif"><img width="129" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61348/problem_61348_img_4.gif"> в) <img width="20" height="73" align="MIDDLE" borde...

Составьте систему, состоящую из двух линейных уравнений, для которой строки  (1, 1, 1, 1)  и  (1, 2, 2, 1)  служат решениями.

Может ли система линейных уравнений с действительными коэффициентами иметь в точности два различных решения?

Решите системы уравнений. Для каждой из них выясните, при каких значениях параметров система не имеет решений, а при каких имеет бесконечно много решений. а) <img width="18" height="54" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61344/problem_61344_img_2.gif"><img width="130" height="54" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61344/problem_61344_img_3.gif">б) <img width="18" height="54" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61344/problem_61344_img_2.gif"><img width="138" height="54" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/...

За круглым столом сидят 4 гнома. Перед каждым стоит кружка с молоком. Один из гномов переливает ¼ своего молока соседу справа. Затем сосед справа делает то же самое. Затем то же самое делает следующий сосед справа и наконец четвёртый гном ¼ оказавшегося у него молока наливает первому. Во всех кружках вместе молока 2 л. Сколько молока было первоначально в кружках, если

  а) в конце у всех гномов молока оказалось поровну?

  б) в конце у всех гномов оказалось молока столько, сколько было в начале?

На рисунках изображены разбиения прямоугольников на квадраты. Найдите стороны этих квадратов, если в первом случае сторона наименьшего квадрата равна 1, а во втором — 2. а) <img width="105" height="89" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/61342/problem_61342_img_2.gif" alt="\begin{picture} (75,65)\put(0,0){\line(1,0){65}}\put(0,55){\line(1,0){65}} \pu... ...e(0,1){20}}\put(65,0){\line(0,1){55}} \put(30,20){\line(0,1){35}} \end{picture}">

б) <img width="111" height="98" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/61342/problem_61342_img_3.gif" alt="\begin{picture} (55,65)\put(0,0){\line(1,0){69}}\put(0,61){\line(1,0){69}}\put(... ...(0,1){25...

Решите системы а) <img width="20" height="92" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61341/problem_61341_img_2.gif"><img width="190" height="92" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61341/problem_61341_img_3.gif">б) <img width="20" height="92" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61341/problem_61341_img_4.gif"><img width="203" height="92" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61341/problem_61341_img_5.gif"> в) <img width="20" height="92" align="MIDDLE" border="0"...

Тройки чисел(<i>x</i>_n,<i>y</i>_n,<i>z</i>_n)(<i>n</i>$\geqslant$1) строятся по правилу:<i>x</i>₁= 2,<i>y</i>₁= 4,<i>z</i>₁= 6/7,<div align="CENTER"> <i>x</i>_{n + 1} = $\displaystyle {\frac{2x_n}{x_n^2-1}}$,    <i>y</i>_{n + 1} = $\displaystyle {\frac{2y_n}{y_n^2-1}}$,    <i>z</i>_{n + 1} = $\displaystyle {\frac{2z_n}{z_n^2-1}}$,    (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 1). </div> а) Докажите, что указанный процесс построения троек может быть неог...

Последовательность чисел<i>a</i>₁,<i>a</i>₂,<i>a</i>₃,...задается условиями<div align="CENTER"> <i>a</i>₁ = 1,        <i>a</i>_{n + 1} = <i>a</i>_n + $\displaystyle {\dfrac{1}{a_n^2}}$        (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 0). </div>Докажите, что а) эта последовательность неограничена; б)<i>a</i>₉₀₀₀> 30; в) найдите предел$\lim\limits_{n\to\infty}^{}$${\dfrac{a_n}{\sqrt[3]n}}$.

Последовательность чисел<i>x</i>₀,<i>x</i>₁,<i>x</i>₂,...задается условиями<div align="CENTER"> <i>x</i>₀ = 1,        <i>x</i>_{n + 1} = <i>a</i>^x_n    (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 0). </div>Найдите наибольшее число<i>a</i>, для которого эта последовательность имеет предел. Чему равен этот предел для такого<i>a</i>?

Докажите равенство<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{2}{\pi}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}}$^.$\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}$^.$\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}}$... </div>

Рассмотрим окружность радиуса 1. Опишем около нее и впишем в нее правильные <i>n</i>-угольники. Обозначим их периметры через <i>P_n</i> (для описанного) и <i>p_n</i> (для вписанного).

   а) Найдите <i>P</i>₄, <i>p</i>₄, <i>P</i>₆ и <i>p</i>₆.

   б) Докажите, что справедливы следующие рекуррентные соотношения:    <i>P</i>_2<i>n</i> = <img width="63" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61335/problem_61335_img_2.gif">,        <i>p</i&...

Постройте последовательность полиномов, которая получается, если метод Лобачевского (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161333">161333</a>) применить для приближенного нахождения корней многочлена  <i>x</i>² – <i>x</i> – 1.  Какие последовательности будут сходиться к корням <i>x</i>₁ и <i>x</i>₂, если  |<i>x</i>₁| > |<i>x</i>₂|?

Пусть многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>xⁿ + a</i>_<i>n</i>–1<i>x</i>^<i>n</i>–1 + ... + <i>a</i>₁<i>x + a</i>₀  имеет корни  <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i>,  причем  |<i>x</i>₁| > |<i>x</i>₂| > ... > |<i>x_n</i>|.  В задаче  <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160965">160965</a> был предъявлен способ построения многочлена <i>Q</i>...

Метод Ньютона (см. задачу<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161328">9.77</a>) не всегда позволяет приблизиться к корню уравнения<i>f</i>(<i>x</i>) = 0. Для многочлена<i>f</i>(<i>x</i>) =<i>x</i>(<i>x</i>- 1)(<i>x</i>+ 1) найдите начальное условие<i>x</i>₀такое, что<i>f</i>(<i>x</i>₀)$\ne$<i>x</i>₀и<i>x</i>₂=<i>x</i>₀.

Предположим, что цепные дроби  <img width="400" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61331/problem_61331_img_2.gif"> сходятся. Согласно задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161330">161330</a>, они будут сходиться к корням многочлена  <i>x</i>² – <i>px + q</i> = 0.  С другой стороны к тем же корням будут сходиться и последовательности, построенные по методу Ньютона (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161328">161328</a>):   <i>x</i>_<i>n</i>+1 = <i>x_n</i> – <img width="98" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/sto...

Пусть<i>p</i>и<i>q</i> — отличные от нуля действительные числа и<i>p</i>²- 4<i>q</i>> 0. Докажите, что следующие последовательности сходятся: а)<i>y</i>₀= 0,        <i>y</i>_{n + 1}=${\dfrac{q}{p-y_n}}$    (<i>n</i>$\geqslant$0); б)<i>z</i>₀= 0,        <i>z</i>_{n + 1}=<i>p</i>-${\dfrac{q}{z_n}}$    (<i>n</i>$\geqslant$0). Установите связь между предельными значениями этих последовательностей<i>y</i>,<i>z</i>и корнями уравнения<i>x</i>²-<i>px</i>+<i>...

Применим метод Ньютона (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161328">161328</a>) для приближённого нахождения корней многочлена   <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² – <i>x</i> – 1. Какие последовательности чисел получатся, если

  а)  <i>x</i>₀ = 1;   б)  <i>x</i>₀ = 0?

К каким числам будут сходиться эти последовательности?

Опишите разложения чисел <i>x_n</i> в цепные дроби.

<b>Метод Ньютона.</b>Для приближенного нахождения корней уравнения<i>f</i>(<i>x</i>) = 0 Ньютон предложил искать последовательные приближения по формуле<div align="CENTER"> <i>x</i>_{n + 1} = <i>x</i>_n - <img width="52" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61328/problem_61328_img_2.gif" alt="$\displaystyle {\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}}$">, </div>(начальное условие<i>x</i>₀следует выбирать поближе к искомому корню). Докажите, что для функции<i>f</i>(<i>x</i>) =<i>x</i>²-<i>k&l...

Докажите, что касательная к графику функции<i>f</i>(<i>x</i>), построенная в точке с координатами(<i>x</i>₀;<i>f</i>(<i>x</i>₀)) пересекает ось<i>Ox</i>в точке с координатой<div align="CENTER"> <i>x</i>₀ - <img width="50" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61327/problem_61327_img_2.gif" alt="$\displaystyle {\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}}$">. </div>

Найдите с точностью до 0,01 сотый член<i>x</i>₁₀₀последовательности {<i>x</i>_n}, если а)<i>x</i>₁$\in$[0; 1],<i>x</i>_{n + 1}=<i>x</i>_n(1 -<i>x</i>_n), (<i>n</i>> 1); б)<i>x</i>₁$\in$[0, 1; 0, 9],<i>x</i>_{n + 1}= 2<i>x</i>_n(1 -<i>x</i>_n), (<i>n</i>> 1).

Назовём <i>геометрико-гармоническим средним</i> чисел <i>a</i> и <i>b</i> общий предел последовательностей {<i>a_n</i>} и {<i>b_n</i>}, построенных по правилу <div align="CENTER"><i>a</i>₀ = <i>a,   b</i>₀ = <i>b</i>,   <i>a</i>_<i>n</i>+1 = <img width="60" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61324/problem_61324_img_2.gif">,   <i>b</i>_<i>n</i>+1 = <img width="53" height="39" align="MIDDLE...