Задача
Применим метод Ньютона (см. задачу 161328) для приближённого нахождения корней многочлена f(x) = x² – x – 1. Какие последовательности чисел получатся, если
а) x0 = 1; б) x0 = 0?
К каким числам будут сходиться эти последовательности?
Опишите разложения чисел xn в цепные дроби.
Решение
По методу Ньютона мы получаем итерационную формулу 
а) 
Заметим, что если 
то согласно формулам 
(см. задачу 160567) и Fm–1Fm + FmFm+1 = F2m
(см. задачу 160566) 
Следовательно, 
Из задачи 160578 легко следует, что эта последовательность сходится к положительному корню φ трёхчлена x² – x – 1.
Согласно задаче 160596 разложение xn в цепную дробь имеет вид [1; 1, 1, ..., 1] (всего 2n единиц). б) 
Аналогично п. а) получаем, что 
(2n – 3 единицы),
xn → – φ–1 (это второй корень того же трёхчлена).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь