Олимпиадные задачи из источника «глава 4. Арифметика остатков» для 7 класса

Имеется n целых чисел. Доказать, что среди них найдется несколько, или быть может одно, сумма которых делится на n.

Из шахматной доски вырезали две клетки – a1 и h8. Можно ли оставшуюся часть доски покрыть 31 косточкой домино так, чтобы каждая косточка покрывала ровно две клетки доски?

На столе лежат книги, которые надо упаковать. Если их связать в одинаковые пачки по 4, по 5 или по 6 книг, то каждый раз останется одна лишняя книга, а если связать по 7 книг в пачку, то лишних книг не останется. Какое наименьшее количество книг может быть на столе?

Найдите наименьшее натуральное число, дающее при делении на 2, 3, 5, 7 остатки 1, 2, 4, 6 соответственно.

Двое пишут  а) 30-значное;  б) 20-значное число, употребляя только цифры 1, 2, 3, 4, 5. Первую цифру пишет первый, вторую – второй, третью – первый и т. д. Может ли второй добиться того, чтобы полученное число разделилось на 9, если первый стремится ему помешать?

Докажите, что если числа <i>N</i> и 5<i>N</i> имеют одинаковую сумму цифр, то <i>N</i> делится на 9.

Найдите все такие трёхзначные числа, которые в 12 раз больше суммы своих цифр.

Существует следующий способ проверить, делится ли данное число <i>N</i> на 19:

  1) отбрасываем последнюю цифру у числа <i>N</i>;

  2) прибавляем к полученному числу произведение отброшенной цифры на 2;

  3) с полученным числом проделываем операции 1) и 2) до тех пор, пока не останется число, меньшее или равное 19.

  4) если остается 19, то 19 делится на <i>N</i>, в противном случае <i>N</i> не делится на 19.

Докажите справедливость этого признака делимости.

Коля Васин выписал пример на умножение, а затем заменил все цифры буквами: одинаковые цифры одинаковыми буквами, а разные – разными. Получилось равенство  <span style="text-decoration: overline;"><i>ab</i></span>·<span style="text-decoration: overline;"><i>cd</i></span> = <span style="text-decoration: overline;"><i>effe</i></span>.  Не ошибся ли Коля?

Докажите ошибочность следующих записей:

  а)  4237·27925 = 118275855;

  б)  42971064 : 8264 = 5201;

  в)  1965² = 3761225;

  г)  <img width="66" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60804/problem_60804_img_2.gif"> = 23.

На доске написано число 8^<i>n</i>. У него вычисляется сумма цифр, у полученного числа вновь вычисляется сумма цифр, и так далее, до тех пор, пока не получится однозначное число. Что это за число, если  <i>n</i> = 2001?

Два числа <i>a</i> и <i>b</i> получаются друг из друга перестановкой цифр. Чему равен цифровой корень (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160794">160794</a>) числа  <i>a – b</i>?

Найдите наименьшее число, запись которого состоит лишь из нулей и единиц, делящееся на 225.

Последовательность {<i>x_n</i>} устроена следующим образом:  <i>x</i>₁ = 3²⁰⁰¹,  а каждый следующий член равен сумме цифр предыдущего. Найдите <i>x</i>₅.

Докажите, что число  <span style="text-decoration: overline;"><i>abcd</i></span>  делится на 99 тогда и только тогда, когда число  <span style="text-decoration: overline;"><i>ab</i></span> + <span style="text-decoration: overline;"><i>cd</i></span>  делится на 99.

Делится ли на 9 число 1234...500? (В записи этого числа подряд выписаны числа от 1 до 500.)

Рассмотрим число <i>N</i>, записанное в десятичной системе счисления. Найдём сумму цифр этого числа, потом сложим цифры, которыми записана сумма и т.д. Будем продолжать этот процесс, пока в конце концов не получим однозначное число, которое называют <i>цифровым корнем</i> числа <i>N</i>. Докажите, что цифровой корень сравним с <i>N</i> по модулю 9.

Сформулируйте и докажите признаки делимости на числа 2, 4, 8, 5 и 25.

Число <i>N</i> записано в десятичной системе счисления  <i>N</i> = <img width="109" height="28" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60789/problem_60789_img_2.gif">.  Докажите следующие признаки делимости:

  а) <i>N</i> делится на 3  ⇔  <i>a_n + a</i>_<i>n</i>–1 + ... + <i>a</i>₁ + <i>a</i>₀ делится на 3;

  б) <i>N</i> делится на 9  ⇔  <i>a_n + a</i>_<i>n</i>–1 + ... + <i>a</i>₁ + <i>a</i>₀ дел...

Докажите, что

  а)  <img width="62" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60735/problem_60735_img_2.gif">  делится на 13;

  б)  <img width="62" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60735/problem_60735_img_3.gif">  делится на 17.

Докажите, что если  6<i>n</i> + 11<i>m</i>  делится на 31, то  <i>n</i> + 7<i>m</i>  также делится на 31.

а) При каких целых <i>n</i> число  5<i>n</i>² + 10<i>n</i> + 8  делится на 3?

б) А при каких на 4?

Пусть <i>a</i> и <i>b</i> – целые числа. Докажите, что

  а) если  <i>a</i>² + <i>b</i>²  делится на 3, то  <i>a</i>² + <i>b</i>²  делится на 9;

  б) если  <i>a</i>² + <i>b</i>²  делится на 21, то  <i>a</i>² + <i>b</i>²  делится на 441.

Найдите последнюю цифру числа 7^{7^7⁷}.

Составьте список всевозможных остатков, которые дают числа <i>n</i>² при делении на 3, 4, 5, ..., 9.