Олимпиадные задачи по теме «Математический анализ» - сложность 2-3 с решениями
Пусть <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x</i><sub><i>n</i></sub> – некоторые числа, принадлежащие отрезку [0, 1].
Докажите, что на этом отрезке найдется такое число <i>x</i>, что <sup>1</sup>/<sub><i>n</i></sub> (|<i>x – x</i><sub>1</sub>| + |<i>x – x</i><sub>2</sub>| + ... + |<i>x – x<sub>n</sub></i>|) = ½.
Коэффициенты квадратного уравнения <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0 удовлетворяют условию 2<i>a</i> + 3<i>b</i> + 6<i>c</i> = 0.
Докажите, что это уравнение имеет корень на интервале (0, 1).
Даны многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) и такие числа <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, <i>b</i><sub>1</sub>, <i>b</i><sub>2</sub>, <i>b</i><sub>3</sub>, что <i>a</i><sub>1</sub><i>a</i><sub>2</sub><i>a</i><sub>3</sub> ≠ 0. Оказалось, что <i>P</i>(<i>a</i><sub>1</sub><i>x + b</i><sub>1</sub>) + <i>P</i>(<i>a</i><sub>2</sub><i>x + b</i><sub>2</sub>) = <i>P</i>(<i>a</i><sub>3<...
Учитель написал на доске в алфавитном порядке все возможные 2<i><sup>n</sup></i> слов, состоящих из <i>n</i> букв А или Б. Затем он заменил каждое слово на произведение <i>n</i> множителей, исправив каждую букву А на <i>x</i>, а каждую букву Б – на (1 – <i>x</i>), и сложил между собой несколько первых из этих многочленов от <i>x</i>. Докажите, что полученный многочлен представляет собой либо постоянную, либо возрастающую на отрезке [0, 1] функцию от <i>x</i>.
На доске написаны девять приведённых квадратных трёхчленов: <i>x</i>² + <i>a</i><sub>1</sub><i>x + b</i><sub>1</sub>, <i>x</i>² + <i>a</i><sub>2</sub><i>x + b</i><sub>2</sub>, ..., <i>x</i>² + <i>a</i><sub>9</sub><i>x + b</i><sub>9</sub>. Известно, что последовательности <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a</i><sub>9</sub> и <i>b</i><sub>1</sub>, <i>b</i><sub>2</sub>, ..., <i>b</i><sub>9</sub> – арифметические прогрессии. Оказалось, что сумма все...
Решите неравенство: [<i>x</i>]·{<i>x</i>} < <i>x</i> – 1.
Существуют ли такие значения <i>a</i> и <i>b</i>, при которых уравнение <i>х</i><sup>4</sup> – 4<i>х</i><sup>3</sup> + 6<i>х</i>² + <i>aх + b</i> = 0 имеет четыре различных действительных корня?
Последовательность чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ... задана условиями <i>a</i><sub>1</sub> = 1, <i>a</i><sub>2</sub> = 143 и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116589/problem_116589_img_2.gif"> при всех <i>n</i> ≥ 2.
Докажите, что все члены последовательности – целые числа.
Ненулевые числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> таковы, что каждые два из трёх уравнений <i>ax</i><sup>11</sup> + <i>bx</i><sup>4</sup> + <i>c</i> = 0, <i>bx</i><sup>11</sup> + <i>cx</i><sup>4</sup> + <i>a</i> = 0, <i>cx</i><sup>11</sup> + <i>ax</i><sup>4</sup> + <i>b</i> = 0 имеют общий корень. Докажите, что все три уравнения имеют общий корень.
Функция <i>f</i>(<i>x</i>) определена на положительной полуоси и принимает только положительные значения. Известно, что <i>f</i>(1) + <i>f</i>(2) = 10 и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116433/problem_116433_img_2.gif"> при любых <i>а</i> и <i>b</i>. Найдите <i>f</i>(2<sup>2011</sup>).
Целые числа <i>m</i> и <i>n</i> таковы, что сумма <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116373/problem_116373_img_2.gif"> целая. Верно ли, что оба слагаемых целые?
Найдите такое значение $a > 1$, при котором уравнение $a^x = \log_a x$ имеет единственное решение.
Функция <i>f</i>(<i>x</i>) определена для всех <i>x</i>, кроме 1, и удовлетворяет равенству: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116003/problem_116003_img_2.gif">. Найдите <i>f</i>(–1).
Докажите, что если числа <i>x, y, z</i> при некоторых значениях <i>p</i> и <i>q</i> являются решениями системы
<i>y = x<sup>n</sup> + px + q, z = y<sup>n</sup> + py + q, x = z<sup>n</sup> + pz + q</i>,
то выполнено неравенство <i>x</i>²<i>y + y</i>²<i>z + z</i>²<i>x ≥ x</i>²<i>z + y</i>²<i>x + z</i>²<i>y</i>.
Рассмотрите случаи а) <i>n</i> = 2; б) <i>n</i> = 2010.
Докажите, что если выражение<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115447/problem_115447_img_2.gif"> </i>принимает рациональное значение, то и выражение<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115447/problem_115447_img_3.gif"> </i>также принимает рациональное значение.
Когда из бассейна сливают воду, уровень<i> h </i>воды в нём меняется в зависимости от времени<i> t </i>по закону <center><i>
h</i>(<i>t</i>)<i>=at<sup>2</sup>+bt+c,
</i></center> а в момент<i> t<sub>0</sub> </i>окончания слива выполнены равенства<i> h</i>(<i>t<sub>0</sub></i>)<i>=h'</i>(<i>t<sub>0</sub></i>)<i>=</i>0. За сколько часов вода из бассейна сливается полностью, если за первый час уровень воды в нём уменьшается вдвое?
В бесконечной последовательности (<i>x<sub>n</sub></i>) первый член <i>x</i><sub>1</sub> – рациональное число, большее 1, и <i>x</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <i>x<sub>n</sub></i> + <sup>1</sup>/<sub>[<i>x<sub>n</sub></i>]</sub> при всех натуральных <i>n</i>.
Докажите, что в этой последовательности есть целое число.
Дан квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>ax + b</i>. Известно, что для любого вещественного <i>x</i> существует такое вещественное <i>y</i>, что <i>f</i>(<i>y</i>) = <i>f</i>(<i>x</i>) + <i>y</i>. Найдите наибольшее возможное значение <i>a</i>.
Последовательность(<i>a<sub>n</sub></i>)задана условиями<i> a<sub>1</sub>= </i>1000000,<i> a<sub>n+</sub></i>1<i>=n</i>[<i><img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111805/problem_111805_img_2.gif"></i>]<i>+n </i>. Докажите, что в ней можно выделить бесконечную подпоследовательность, являющуюся арифметической прогрессией.
Квадратные трёхчлены <i>f</i>(<i>x</i>) и <i>g</i>(<i>x</i>) таковы, что <i>f</i> '(<i>x</i>)<i>g</i>'(<i>x</i>) ≥ |<i>f</i>(<i>x</i>)| + |<i>g</i>(<i>x</i>)| при всех действительных <i>x</i>.
Докажите, что произведение <i>f</i>(<i>x</i>)<i>g</i>(<i>x</i>) равно квадрату некоторого трёхчлена.
Высота<i> SO </i>правильной четырёхугольной пирамиды<i> SABCD </i>образует с боковым ребром угол<i> α </i>, объём этой пирамиды равен<i> V </i>. Вершина второй правильной четырёхугольной пирмиды находится в точке<i> S </i>, центр основания – в точке<i> C </i>, а одна из вершин основания лежит на прямой<i> SO </i>. Найдите объём общей части этих пирамид.
Объём правильной четырёхугольной пирамиды<i> SABCD </i>равен<i> V </i>. Высота<i> SP </i>пирамиды является ребром правильного тетраэдра<i> SPQR </i>, плоскость грани<i> PQR </i>которого перпендикулярна ребру<i> SC </i>. Найдите объём общей части этих пирамид.
Числа <i>p</i> и <i>q</i> таковы, что параболы <i>y</i> = – 2<i>x</i>² и <i>y = x</i>² + <i>px + q</i> пересекаются в двух точках, ограничивая некоторую фигуру.
Найдите уравнение вертикальной прямой, делящей площадь этой фигуры пополам.
Непрерывная функция<i> f</i>(<i>x</i>)такова, что для всех действительных<i> x </i>выполняется неравенство:<i> f</i>(<i>x<sup>2</sup></i>)<i>-</i>(<i>f</i>(<i>x</i>))<i><sup>2</sup><img src="/storage/problem-media/111264/problem_111264_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/111264/problem_111264_img_3.gif"> </i>. Верно ли, что функция<i> f</i>(<i>x</i>)обязательно имеет точки экстремума?
Основание пирамиды – квадрат. Высота пирамиды пересекает диагональ основания. Найдите наибольший объём такой пирамиды, если периметр диагонального сечения, содержащего высоту пирамиды, равен 5.