Олимпиадные задачи по теме «Математический анализ» для 11 класса - сложность 1-2 с решениями
Пусть <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x</i><sub><i>n</i></sub> – некоторые числа, принадлежащие отрезку [0, 1].
Докажите, что на этом отрезке найдется такое число <i>x</i>, что <sup>1</sup>/<sub><i>n</i></sub> (|<i>x – x</i><sub>1</sub>| + |<i>x – x</i><sub>2</sub>| + ... + |<i>x – x<sub>n</sub></i>|) = ½.
Коэффициенты квадратного уравнения <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0 удовлетворяют условию 2<i>a</i> + 3<i>b</i> + 6<i>c</i> = 0.
Докажите, что это уравнение имеет корень на интервале (0, 1).
Решите неравенство: [<i>x</i>]·{<i>x</i>} < <i>x</i> – 1.
Существует ли такое вещественное α, что число cos α иррационально, а все числа cos 2α, cos 3α, cos 4α, cos 5α рациональны?
Функция <i>f</i>(<i>x</i>) определена на положительной полуоси и принимает только положительные значения. Известно, что <i>f</i>(1) + <i>f</i>(2) = 10 и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116433/problem_116433_img_2.gif"> при любых <i>а</i> и <i>b</i>. Найдите <i>f</i>(2<sup>2011</sup>).
Найдите такое значение $a > 1$, при котором уравнение $a^x = \log_a x$ имеет единственное решение.
Функция <i>f</i>(<i>x</i>) определена для всех <i>x</i>, кроме 1, и удовлетворяет равенству: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116003/problem_116003_img_2.gif">. Найдите <i>f</i>(–1).
Когда из бассейна сливают воду, уровень<i> h </i>воды в нём меняется в зависимости от времени<i> t </i>по закону <center><i>
h</i>(<i>t</i>)<i>=at<sup>2</sup>+bt+c,
</i></center> а в момент<i> t<sub>0</sub> </i>окончания слива выполнены равенства<i> h</i>(<i>t<sub>0</sub></i>)<i>=h'</i>(<i>t<sub>0</sub></i>)<i>=</i>0. За сколько часов вода из бассейна сливается полностью, если за первый час уровень воды в нём уменьшается вдвое?
Числа <i>p</i> и <i>q</i> таковы, что параболы <i>y</i> = – 2<i>x</i>² и <i>y = x</i>² + <i>px + q</i> пересекаются в двух точках, ограничивая некоторую фигуру.
Найдите уравнение вертикальной прямой, делящей площадь этой фигуры пополам.
Сумма положительных чисел <i>a, b, c</i> равна <sup>π</sup>/<sub>2</sub>. Докажите, что cos <i>a</i> + cos <i>b</i> + cos <i>c</i> > sin <i>a</i> + sin <i>b</i> + sin <i>c</i>.
На доске написано: <i>x</i>³ + ...<i>x</i>² + ...<i>x</i> + ... = 0. Два школьника по очереди вписывают вместо многоточий действительные числа. Цель первого – получить уравнение, имеющее ровно один действительный корень. Сможет ли второй ему помешать?
Функция<i> f </i>такова, что для любых положительных<i> x </i>и<i> y </i>выполняется равенство<i> f</i>(<i>xy</i>)<i> = f</i>(<i>x</i>)<i> + f</i>(<i>y</i>). Найдите<i> f</i>(2007), если<i> f</i>(<i><img src="/storage/problem-media/109438/problem_109438_img_2.gif"></i>)<i> = </i>1.
Вычислите $$\int \limits_0^{\pi} \big(|\sin(1999x)|-|\sin(2000x)|\big) , dx.$$
Пусть <i>x, y, z</i> – любые числа из интервала (0, <sup>π</sup>/<sub>2</sub>). Докажите неравенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98588/problem_98588_img_2.gif">
Существует ли кусочно-линейная функция <i>f</i>, определённая на отрезке [–1, 1] (включая концы), для которой <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>))= – <i>x</i> при всех <i>x</i>?
(Функция называется кусочно-линейной, если её график есть объединение конечного числа точек и интервалов прямой; она может быть разрывной.)
При каком натуральном <i>K</i> величина <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/97900/problem_97900_img_2.gif"> достигает максимального значения?
а) Привести пример такого положительного <i>a</i>, что {<i>a</i>} + {<sup>1</sup>/<sub><i>a</i></sub>} = 1.
б) Может ли такое <i>a</i> быть рациональным числом?
Числа<i>a</i>и<i>b</i>таковы, что первое уравнение системы <table align="center" border="0"> <tr> <td rowspan="2" valign="middle"><font size="+5">{</font></td> <td>cos <i>x</i>=<i>ax</i>+<i>b</i></td></tr> <tr><td>sin <i>x</i>+<i>a</i>=0</td></tr> </table> имеет ровно два решения. Докажите, что система имеет хотя бы одно решение.
Числа<i>a</i>и<i>b</i>таковы, что первое уравнение системы <table align="center" border="0"> <tr> <td rowspan="2" valign="middle"><font size="+5">{</font></td> <td>sin <i>x</i>+<i>a</i>=<i>bx</i></td></tr> <tr><td>cos <i>x</i>=<i>b</i></td></tr> </table> имеет ровно два решения. Докажите, что система имеет хотя бы одно решение.
Существует ли на координатной плоскости прямая, относительно которой симметричен график функции<i>y</i>= 2<sup>x</sup>?
Рассматривается функция<i>y</i>=<i>f</i>(<i>x</i>), определённая на всём множестве действительных чисел и удовлетворяющая для некоторого числа<i>k</i>≠ 0 соотношению<i>f</i>(<i>x</i>+<i>k</i>)<sup> . </sup>(1 −<i>f</i>(<i>x</i>)) = 1 +<i>f</i>(<i>x</i>). Доказать, что<i>f</i>(<i>x</i>) — периодическая функция.
Последовательность натуральных чисел {<i>x<sub>n</sub></i>} строится по следующему правилу: <i>x</i><sub>1</sub> = 2, ..., <i>x<sub>n</sub></i> = [1,5<i>x</i><sub><i>n</i>–1</sub>].
Доказать, что последовательность <i>y<sub>n</sub></i> = (–1)<i><sup>x<sub>n</sub></sup></i> непериодическая.
Решить уравнение <i>x</i>³ – [<i>x</i>] = 3.
Доказать, что если <sup><i>p</i></sup>/<sub><i>q</i></sub> – несократимая рациональная дробь, являющаяся корнем полинома <i>f</i>(<i>x</i>) с целыми коэффициентами, то <i>p – kq</i> есть делитель числа <i>f</i>(<i>k</i>) при любом целом <i>k</i>.
Доказать, что если <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78003/problem_78003_img_2.gif"> то <i>x</i><sup>4</sup> + <i>a</i><sub>1</sub><i>x</i>³ + <i>a</i><sub>2</sub><i>x</i>² + <i>a</i><sub>3</sub><i>x + a</i><sub>4</sub> делится на (<i>x – x</i><sub>0</sub>)².