Олимпиадные задачи по теме «Числовые последовательности» - сложность 2 с решениями

Последовательность чисел  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ...  задана условиями  <i>a</i>₁ = 1,  <i>a</i>₂ = 143  и   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116589/problem_116589_img_2.gif">   при всех  <i>n</i> ≥ 2.

Докажите, что все члены последовательности – целые числа.

В магазин завезли 20 кг сыра, за ним выстроилась очередь. Отпустив сыр очередному покупателю, продавщица безошибочно подсчитывает средний вес покупки по всему проданному сыру и сообщает, на сколько человек хватит оставшегося сыра, если все будут покупать именно по этому среднему весу. Могла ли продавщица после каждого из первых 10 покупателей сообщать, что сыра хватит ещё ровно на 10 человек? Если да, то сколько сыра осталось в магазине после первых 10 покупателей?

Последовательность натуральных чисел  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_n</i>, ...  такова, что для каждого <i>n</i> уравнение  <i>a</i>_<i>n</i>+2<i>x</i>² + <i>a</i>_<i>n</i>+1<i>x</i> + <i>a_n</i> = 0  имеет действительный корень. Может ли число членов этой последовательности быть

  а) равным 10;

  б) бесконечным?

При каком натуральном <i>K</i> величина   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/97900/problem_97900_img_2.gif">   достигает максимального значения?

Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что  $a^{n+1} + b^{n+1}$  делится на  $a^n+b^n$  для бесконечного множества различных натуральных $n$. Обязательно ли тогда  $a = b$?

Взяли несколько положительных чисел и построили по ним такую последовательность: <i>a</i>₁ – сумма исходных чисел, <i>a</i>₂ – сумма квадратов исходных чисел, <i>a</i>₃ – сумма кубов исходных чисел, и т.д.

  а) Могло ли случиться, что до <i>a</i>₅ последовательность убывает  (<i>a</i>₁ > <i>a</i>₂ > <i>a</i>₃ > <i>a</i>₄ > <i>a</i>₅),  а начиная с <i>a</i>₅ – возрастает  (<i>a</i>₅ < <i>a...

У чисел 1000², 1001², 1002², ... отбрасывают по две последние цифры. Сколько первых членов полученной последовательности образуют арифметическую прогрессию?

В ряд записаны 20 различных натуральных чисел. Произведение каждых двух из них, стоящих подряд, является квадратом натурального числа. Первое число равно 42. Докажите, что хотя бы одно из чисел больше чем 16000.

Толя выложил в ряд 101 монету достоинством 1, 2 и 3 копейки. Оказалось, что между каждыми двумя копеечными монетами лежит хотя бы одна монета, между каждыми двумя двухкопеечными монетами лежат хотя бы две монеты, а между каждыми двумя трёхкопеечными монетами лежат хотя бы три монеты. Сколько трёхкопеечных монет могло быть у Толи?

Назовём <i>геометрико-гармоническим средним</i> чисел <i>a</i> и <i>b</i> общий предел последовательностей {<i>a_n</i>} и {<i>b_n</i>}, построенных по правилу <div align="CENTER"><i>a</i>₀ = <i>a,   b</i>₀ = <i>b</i>,   <i>a</i>_<i>n</i>+1 = <img width="60" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61324/problem_61324_img_2.gif">,   <i>b</i>_<i>n</i>+1 = <img width="53" height="39" align="MIDDLE...

Пусть <i>a</i> и <i>b</i> – два положительных числа, и  <i>a < b</i>.  Определим две последовательности чисел {<i>a_n</i>} и {<i>b</i>_n} формулами: <div align="CENTER"><i>a</i>₀ = <i>a, &nbsp b</i>₀ = <i>b,   a</i>_<i>n</i>+1 = <img width="60" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61323/problem_61323_img_2.gif">,   <i>b</i>_<i>n</i>+1 = <img width="60" height="51" align="MIDDLE" border=&quo...

Пусть <i>a</i> и <i>b</i> – два положительных числа, причём  <i>a < b</i>.  Построим по этим числам две последовательности {<i>a_n</i>} и {<i>b_n</i>} по правилам: <div align="CENTER"><i>a</i>₀ = <i>a</i>,   <i>b</i>₀ = <i>b</i>,   <i>a</i>_<i>n</i>+1 = <img width="53" height="39" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61322/problem_61322_img_2.gif">,   <i>b</i>_<i>n</i>+1 = <img width="60" height="...

Числа<i>a</i>₁,<i>a</i>₂, ...,<i>a</i>_kтаковы, что равенство<div align="CENTER"> $\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}^{}$(<i>x</i>_n + <i>a</i>₁<i>x</i>_{n - 1} +...+ <i>a</i>_k<i>x</i>_{n - k}) = 0 </div>возможно только для тех последовательностей {<i>x</i>_n}, для которых$\lim\limits_{n\to\infty}^{}$<i>x</i>_n= 0. Докажите, что все корни многочлена<div align="CENTER"> <i>P</i>($\displaystyle \lambda$)...

Последовательность чисел {<i>a</i>_n} задана условиями<div align="CENTER"> <i>a</i>₁ = 1,        <i>a</i>_{n + 1} = <i>a</i>_n + $\displaystyle {\dfrac{1}{a_n^2}}$    (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 1). </div>Верно ли, что эта последовательность ограничена?

Геометрической интерпретацией итерационного процесса служит<i>итерационная ломаная</i>. Для ее построения на плоскости<i>Oxy</i>рисуется график функции<i>f(x)</i>и проводится биссектриса координатного угла — прямая<i>y</i>=<i>x</i>. Затем на графике функции отмечаются точки<i>A₀(x₀,f(x₀))</i>,<i>A₁(x₁,f(x₁))</i>,...,<i>A_n(x_n,f(x_n))</i>,... а на биссектрисе координатного угла — точки<i>B₀(x₀,x₀)</i>,<i>B<...

<b>Метод итераций.</b>Для того, чтобы приближенно решить уравнение, допускающее запись<i>f</i>(<i>x</i>) =<i>x</i>, применяется метод итераций. Сначала выбирается некоторое число<i>x</i>₀, а затем строится последовательность {<i>x</i>_n} по правилу<i>x</i>_{n + 1}=<i>f</i>(<i>x</i>_n)(<i>n</i>$\geqslant$0). Докажите, что если эта последовательность имеет предел<i>x</i>* =$\lim\limits_{n\to\infty}^{}$<i>x</i>_n, и функция<i>f</i>(<i>x</i>) непрерывна, то этот предел является корнем исходного уравнения:<i>f</i&...

К чему будет стремиться последовательность из предыдущей задачи<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161297">9.46</a>, если в качестве начального условия выбрать<i>x</i>₁= - 1?

<b>Вавилонский алгоритм вычисления $\sqrt{2}$.</b>Последовательность чисел {<i>x</i>_n} задана условиями:<div align="CENTER"> <i>x</i>₁ = 1,        <i>x</i>_{n + 1} = $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{2}}$$\displaystyle \left(\vphantom{x_n+\frac{2}{x_n}}\right.$<i>x</i>_n + $\displaystyle {\frac{2}{x_n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{x_n+\frac{2}{x_n}}\right)$        (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 1). </div>Докажите, что$\lim\limits_{n\to\infty}^{}$<i>x</i>_n=$\sqrt{2}$.

Какое слагаемое в разложении  (1 + <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60420/problem_60420_img_2.gif">)¹⁰⁰  по формуле бинома Ньютона будет наибольшим?