Задача
Пусть a и b – два положительных числа, и a < b. Определим две последовательности чисел {an} и {bn} формулами:
a0 = a, b0 = b, an+1 = 
, bn+1 = 
(n ≥ 0).
а) Докажите, что обе эти последовательности имеют общий предел.
Этот предел называетсяарифметико-гармоническим среднимчиселaиb.
б) Докажите, что этот предел совпадает со средним геометрическим чиселaиb.
в) Пусть a= 1, b = k. Как последовательность {bn} связана с последовательностью {xn} из задачи 161299?
, bn+1 = (n ≥ 0). Решение
а) См. решение задачи 161322. б) Ясно, что an+1bn+1 = anbn = ab. Переходя к пределу, получаем l² = ab.
Ответ
в) Они совпадают.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет