Олимпиадные задачи по теме «Проективная геометрия» для 4-8 класса

Дан правильный 17-угольник <i>A</i>₁... <i>A</i>₁₇. Докажите, что треугольники, образованные прямыми <i>A</i>₁<i>A</i>₄, <i>A</i>₂<i>A</i>₁₀, <i>A</i>₁₃<i>A</i>₁₄ и <i>A</i>₂<i>A</i>₃, <i>A</i>₄<i>A</i>₆, <i>A</i>₁₄<i>A</i>₁₅, равны.

Четырёхугольник <i>ABCD</i> описан около окружности, лучи <i>BA</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>E</i>, лучи <i>BC</i> и <i>AD</i> – в точке <i>F</i>. Вписанная окружность треугольника, образованного прямыми <i>AB, CD</i> и биссектрисой угла <i>B</i>, касается прямой <i>AB</i> в точке <i>K</i>, а вписанная окружность треугольника, образованного прямыми <i>AD, BC</i> и биссектрисой угла <i>B</i>, касается прямой <i>BC</i> в точке <i>L</i>. Докажите, что прямые <i>KL, AC</i> и <i>EF</i> пересекаются в одной точке.

В треугольнике <i>ABC  M</i> – точка пересечения медиан, <i>I</i> – центр вписанной окружности, <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁ – точки касания этой окружности со сторонами <i>BC</i> и <i>AC, G</i> – точка пересечения прямых <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁. Докажите, что угол <i>CGI</i> прямой тогда и только тогда, когда   <i>GM || AB</i>.

Дан четырёхугольник <i>ABCD</i>. Его противоположные стороны <i>AB</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Его диагонали пересекаются в точке <i>L</i>. Известно, что прямая <i>KL</i> проходит через центр тяжести вершин четырёхугольника <i>ABCD</i>. Докажите, что <i>ABCD</i> – трапеция.

На сторонах угла взяты точки <i>A, B</i>. Через середину <i>M</i> отрезка <i>AB</i> проведены две прямые, одна из которых пересекает стороны угла в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, другая – в точках <i>A</i>₂ , <i>B</i>₂. Прямые <i>A</i>₁<i>B</i>₂ и <i>A</i>₂<i>B</i>₁ пересекают <i>AB</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Докажите, что <i>M</i> – середина <i>PQ</i>.

На плоскости дан угол и точка <i>К</i> внутри него. Доказать, что найдётся точка <i>М</i>, обладающая следующим свойством: если произвольная прямая, проходящая через <i>К</i>, пересекает стороны угла в точках <i>А</i> и <i>В</i>, то <i>МК</i> является биссектрисой угла <i>АМВ</i>.

В трапеции <i>ABCD</i> на боковой стороне <i>AB</i> дана точка <i>K</i>. Через точку <i>A</i> провели прямую <i>l</i>, параллельную прямой <i>KC</i>, а через точку <i>B</i> – прямую <i>m</i>, параллельную прямой <i>KD</i>. Докажите, что точка пересечения прямых <i>l</i> и <i>m</i> лежит на стороне <i>CD</i>.

Проекцией точки<i>A</i>из точки<i>O</i>на плоскость<i>P</i>называется точка<i>A'</i>, в которой прямая<i>OA</i>пересекает плоскость<i>P</i>. Проекцией треугольника называется фигура, состоящая из всех проекций его точек. Какими фигурами может быть проекция треугольника, если точка<i>O</i>не лежит в его плоскости?

Автобусная сеть города устроена следующим образом:

  1) с каждой остановки на любую другую остановку можно попасть без пересадки;

  2) для каждой пары маршрутов найдётся, и притом единственная, остановка, на которой можно пересесть с одного из этих маршрутов на другой;

  3) на каждом маршруте ровно три остановки.

Сколько автобусных маршрутов в городе? (Известно, что их больше одного.)

В трапецию $ABCD$ ($AD\parallel BC$) вписана окружность $\omega$, которая касается сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ в точках $P$, $Q$, $R$, $S$ соответственно. Прямая, проходящая через точку $P$ параллельно основаниям трапеции, пересекает прямую $QR$ в точке $X$. Докажите, что прямые $AB$, $QS$ и $DX$ пересекаются в одной точке.

Пусть <i>O</i> – одна из точек пересечения окружностей ω₁ и ω₂. Окружность ω с центром <i>O</i> пересекает ω₁ в точках <i>A</i> и <i>B</i>, а ω₂ – в точках <i>C</i> и <i>D</i>. Пусть <i>X</i> – точка пересечения прямых <i>AC</i> и <i>BD</i>. Докажите, что все такие точки <i>X</i> лежат на одной прямой.

Даны прямая <i>l</i>, окружность и точка <i>M</i>, лежащая на окружности и не лежащая на прямой <i>l</i>. Пусть<i>P</i>_M — проектирование прямой<i>l</i>на данную окружность из точки<i>M</i>(точка <i>X</i>прямой отображается в отличную от <i>M</i>точку пересечения прямой<i>XM</i>с окружностью),<i>R</i> — движение плоскости, сохраняющее данную окружность (т. е. поворот плоскости вокруг центра окружности или симметрия относительно диаметра). Докажите, что композиция<i>P</i>_M^-1<tt>o</tt><i>R</i><tt>o</tt><i>P</i>_Mявляется прое...

Даны прямая <i>l</i>, окружность и точки <i>M</i>,<i>N</i>, лежащие на окружности и не лежащие на прямой <i>l</i>. Рассмотрим отображение <i>P</i>прямой <i>l</i>на себя, являющееся композицией проектирования прямой <i>l</i>на данную окружность из точки <i>M</i>и проектирования окружности на прямую <i>l</i>из точки <i>N</i>. (Если точка <i>X</i>лежит на прямой <i>l</i>, то<i>P</i>(<i>X</i>) есть пересечение прямой<i>NY</i>с прямой <i>l</i>, где <i>Y</i> — отличная от <i>M</i>точка пересечения прямой<i>MX</i>с данной окружностью.) Докажите, что преобразование <i&gt...

Точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>лежат на одной прямой. Докажите, что если (<i>ABCD</i>) = 1, то либо<i>A</i>=<i>B</i>, либо<i>C</i>=<i>D</i>.

Докажите, что преобразование <i>P</i>числовой прямой является проективным тогда и только тогда, когда оно представляется в виде<div align="CENTER"> <i>P</i>(<i>x</i>) = $\displaystyle {\frac{ax+b}{cx+d}}$, </div>где <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i> — такие числа, что<i>ad</i>-<i>bc</i>$\ne$0. (Такие отображения называют<i>дробно-линейными</i>.)

Дано отображение прямой <i>a</i>на прямую <i>b</i>, сохраняющее двойное отношение любой четверки точек. Докажите, что это отображение проективно.

Докажите, что нетождественное проективное преобразование прямой имеет не более двух неподвижных точек.

Докажите, что проективное преобразование прямой однозначно определяется образами трех произвольных точек.

Докажите, что если(<i>ABCX</i>) = (<i>ABCY</i>), то<i>X</i>=<i>Y</i>(все точки попарно различны, кроме, быть может, точек <i>X</i>и <i>Y</i>, и лежат на одной прямой).

а) Даны прямые <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>, проходящие через одну точку, и прямая <i>l</i>, через эту точку не проходящая. Пусть <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i> — точки пересечения прямой <i>l</i>с прямыми <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>соответственно. Докажите, что(<i>abcd</i>)= (<i>ABCD</i>). б) Докажите, что двойное отношение четверки точек сохраняется при проективных преобразованиях.

Докажите, что существует проективное отображение, которое три данные точки одной прямой переводит в три данные точки другой прямой.

а) Точки<i>A, B</i>и<i>C</i>лежат на одной прямой, а точки<i>A</i>₁,<i>B</i>₁и<i>C</i>₁– на другой. Докажите, что если  <i>AB</i>₁||<i>BA</i>₁  и  <i>AC</i>₁||<i>CA</i>₁,  то  <i>BC</i>₁||<i>CB</i>₁.б) Точки <i>A, B</i> и <i>C</i> лежат на одной прямой, а точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ таковы, что  <i>AB</i>&l...

Пусть <i>A</i> – основание перпендикуляра, опущенного из центра данной окружности на данную прямую <i>l</i>. На этой прямой взяты еще две точки <i>B</i> и <i>C</i> так, что

<i>AB = AC</i>.  Через точки <i>B</i> и <i>C</i> проведены две произвольные секущие, из которых одна пересекает окружность в точках <i>P</i> и <i>Q</i>, вторая – в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Пусть прямые <i>PM</i> и <i>QN</i> пересекают прямую <i>l</i> в точках <i>R</i> и <i>S</i>. Докажите, что  <i>AR = AS</i>.

Через середину <i>C</i> произвольной хорды <i>AB</i> окружности проведены две хорды <i>KL</i> и <i>MN</i> (точки <i>K</i> и <i>M</i> лежат по одну сторону от <i>AB</i>). Отрезок <i>KN</i> пересекает <i>AB</i> в точке <i>P</i>. Отрезок <i>LM</i> пересекает <i>AB</i> в точке <i>Q</i>. Докажите, что  <i>PC = QC</i>. <small>Также доступны документы в формате <a href="https://problems.ru/images/problem_52460_img_6.gif">TeX</a></small>