Олимпиадные задачи по теме «Аффинная геометрия» для 5-10 класса - сложность 3-5 с решениями

Верно ли, что при любом <i>n</i> правильный 2<i>n</i>-угольник является проекцией некоторого многогранника, имеющего не более, чем  <i>n</i> + 2  грани?

Дан четырёхугольник <i>ABCD</i>, противоположные стороны которого пересекаются в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Две прямые, проходящие через эти точки, пересекают стороны четырёхугольника в четырёх точках, являющихся вершинами параллелограмма. Докажите, что центр этого параллелограмма лежит на прямой, соединяющей середины диагоналей <i>ABCD</i>.

Верно ли, что для любых четырёх попарно скрещивающихся прямых можно так выбрать по одной точке на каждой из них, чтобы эти точки были вершинами а) трапеции, б) параллелограмма?

В пространстве даны 200 точек. Каждые две из них соединены отрезком, причём отрезки не пересекаются друг с другом. Первый игрок красит каждый отрезок в один из <i>k</i> цветов, затем второй игрок красит в один из тех же цветов каждую точку. Если найдутся две точки и отрезок между ними, окрашенные в один цвет, выигрывает первый игрок, в противном случае второй. Докажите, что первый может гарантировать себе выигрыш, если

  а)  <i>k</i> = 7;   б)  <i>k</i> = 10.

В треугольнике $ABC$ вписанная окружность $\omega$ с центром $I$ касается $BC$ в точке $D$. Точка $P$ – проекция ортоцентра треугольника $ABC$ на медиану из вершины $A$. Докажите, что окружности $AIP$ и $\omega$ высекают на $AD$ равные отрезки

Пусть $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$, а $K$ – точка пересечения $BC$ с внешней биссектрисой угла $A$. Прямая $KI$ пересекает внешние биссектрисы углов $B$ и $C$ в точках $X$ и $Y$. Докажите, что $\angle BAX=\angle CAY$.

В неравнобедренном треугольнике $ABC$ точки $A_0$, $B_0$, $C_0$ – середины сторон $BC$, $CA$, $AB$ соответственно. Биссектриса угла $C$ пересекает прямые $A_0C_0$ и $B_0C_0$ в точках $B_1$ и $A_1$. Докажите, что прямые $AB_1$, $BA_1$ и $A_0B_0$ пересекаются в одной точке.

Докажите, что две изотомические прямые треугольника не могут пересекаться внутри его серединного треугольника. (<i> Изотомическими прямыми треугольника $ABC$ называются две прямые, точки пересечения которых с прямыми $BC$, $CA$, $AB$ симметричны относительно середин соответствующих сторон треугольника</i>.)

Дан треугольник <i>ABC</i> и прямая <i>l</i>, пересекающая <i>BC, CA</i> и <i>AB</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ соответственно. Точка <i>A'</i> – середина отрезка, соединяющего проекции <i>A</i>₁ на <i>AB</i> и <i>AC</i>. Аналогично определяются точки <i>B'</i> и <i>C'</i>.

  а) Докажите, что <i>A', B'</i> и <i>C'</i> лежат на некоторой прямой <i>l'</i>.

  б) Докажите, что, если <i>l</i> проходит через центр описанной окружности треугольника <...

Найдите барицентрические координаты точки Штейнера.

Найдите уравнения эллипсов Штейнера в барицентрических координатах.

На сторонах<i>AB</i>,<i>BC</i>и <i>AC</i>треугольника<i>ABC</i>даны точки <i>M</i>,<i>N</i>и <i>P</i>соответственно. Докажите: а) если точки <i>M</i>₁,<i>N</i>₁и <i>P</i>₁симметричны точкам <i>M</i>,<i>N</i>и <i>P</i>относительно середин соответствующих сторон, то<i>S</i>_MNP=<i>S</i>_M₁N₁P₁. б) если <i>M</i>₁,<i>N</i>₁и <i>P</i>₁ ...

В параллелограмме<i>ABCD</i>точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁,<i>D</i>₁лежат соответственно на сторонах<i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>,<i>DA</i>. На сторонах<i>A</i>₁<i>B</i>₁,<i>B</i>₁<i>C</i>₁,<i>C</i>₁<i>D</i>₁,<i>D</i>₁<i>A</i>₁четырехугольника<i>A</i>₁<i>B</i><sub&...

Пусть<i>L</i>— взаимно однозначное отображение плоскости в себя, переводящее любую окружность в некоторую окружность. Докажите, что<i>L</i> — аффинное преобразование.

Пусть<i>L</i>— взаимно однозначное отображение плоскости в себя. Предположим, что оно обладает следующим свойством: если три точки лежат на одной прямой, то их образы тоже лежат на одной прямой. Докажите, что тогда<i>L</i> — аффинное преобразование.

На плоскости даны две прямые, пересекающиеся под острым углом. В направлении одной из прямых производится сжатие с коэффициентом 1/2. Докажите, что найдется точка, расстояние от которой до точки пересечения прямых увеличится.

На плоскости даны три вектора<b>a</b>,<b>b</b>,<b>c</b>, причем$\alpha$<b>a</b>+$\beta$<b>b</b>+$\gamma$<b>c</b>= 0. Докажите, что эти векторы аффинным преобразованием можно перевести в векторы равной длины тогда и только тогда, когда из отрезков с длинами |$\alpha$|, |$\beta$|, |$\gamma$| можно составить треугольник.

Докажите, что любой выпуклый шестиугольник<i>ABCDEF</i>, в котором каждая сторона параллельна противоположной стороне, аффинным преобразованием можно перевести в шестиугольник с равными диагоналями<i>AD</i>,<i>BE</i>и<i>CF</i>.

Докажите, что любой выпуклый четырехугольник, кроме трапеции, аффинным преобразованием можно перевести в четырехугольник, у которого противоположные углы прямые.

Докажите, что если <i>M'</i>и <i>N'</i> — образы многоугольников <i>M</i>и <i>N</i>при аффинном преобразовании, то отношение площадей <i>M</i>и <i>N</i>равно отношению площадей <i>M'</i>и <i>N'</i>.

Докажите, что если аффинное преобразование переводит некоторую окружность в себя, то оно является либо поворотом, либо симметрией.

Докажите, что любое аффинное преобразование можно представить в виде композиции растяжения (сжатия) и аффинного преобразования, переводящего любой треугольник в подобный ему треугольник.

На плоскости дан многоугольник<i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>_nи точка<i>O</i>внутри его. Докажите, что равенства<div align="CENTER"><table cellpadding="0" width="100%" align="CENTER"> <tr valign="MIDDLE"> <td nowrap align="CENTER">$\displaystyle \overrightarrow{OA_1}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OA_3}$ = 2 cos$\displaystyle {\frac{2\pi}{n}}$$\displaystyle \overrightarrow{OA_2}$,</td> <td nowrap width="10" align="RIGHT">    </td></tr> <tr valign="MIDDLE"> <td nowrap align="CENTER"> 1$\displaystyle \overrightarrow{OA...

Докажите, что любое аффинное преобразование можно представить в виде композиции двух растяжений и аффинного преобразования, переводящего любой треугольник в подобный ему треугольник.

Докажите, что если при аффинном (не тождественном) преобразовании <i>L</i>каждая точка некоторой прямой <i>l</i>переходит в себя, то все прямые вида<i>ML</i>(<i>M</i>), где в качестве <i>M</i>берутся произвольные точки, не лежащие на прямой <i>l</i>, параллельны друг другу.